Theorem lindsunlem 31020

Description: Lemma for lindsun 31021. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lindsun.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lindsun.0	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lindsun.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lindsun.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
lindsun.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊))
lindsun.2	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑈) ∩ (𝑁‘𝑉)) = { 0 })
lindsunlem.o	⊢ 𝑂 = (0g‘(Scalar‘𝑊))
lindsunlem.f	⊢ 𝐹 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
lindsunlem.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
lindsunlem.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂}))
lindsunlem.1	⊢ (𝜑 → (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝐶})))

Assertion

Ref	Expression
lindsunlem	⊢ (𝜑 → ⊥)

Proof of Theorem lindsunlem

Dummy variables 𝑐 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 487	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦))
2		lindsun.w	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
3		lveclmod 19878	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lmodgrp 19641	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
7	6	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → 𝑊 ∈ Grp)
8		lmodabl 19681	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
9	4, 8	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Abel)
10	9	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → 𝑊 ∈ Abel)
11		lindsun.u	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
12		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
13	12	linds1 20954	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
14	11, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
15		lindsun.n	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
16	12, 15	lspssv 19755	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘𝑈) ⊆ (Base‘𝑊))
17	4, 14, 16	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑈) ⊆ (Base‘𝑊))
18	17	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → (𝑁‘𝑈) ⊆ (Base‘𝑊))
19		difssd 4109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∖ {𝐶}) ⊆ 𝑈)
20	12, 15	lspss 19756	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑈 ∖ {𝐶}) ⊆ 𝑈) → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ⊆ (𝑁‘𝑈))
21	4, 14, 19, 20	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ⊆ (𝑁‘𝑈))
22	21	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ⊆ (𝑁‘𝑈))
23		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})))
24	22, 23	sseldd 3968	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → 𝑥 ∈ (𝑁‘𝑈))
25	18, 24	sseldd 3968	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
26		lindsun.v	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊))
27	12	linds1 20954	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑉 ∈ (LIndS‘𝑊) → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊))
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊))
29	12, 15	lspssv 19755	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘𝑉) ⊆ (Base‘𝑊))
30	4, 28, 29	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑉) ⊆ (Base‘𝑊))
31	30	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → (𝑁‘𝑉) ⊆ (Base‘𝑊))
32		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉))
33	31, 32	sseldd 3968	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
34		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
35	12, 34	ablcom 18924	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑊)𝑥))
36	10, 25, 33, 35	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) = (𝑦(+g‘𝑊)𝑥))
37	1, 36	eqtr2d 2857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → (𝑦(+g‘𝑊)𝑥) = (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶))
38		lindsunlem.k	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂}))
39	38	eldifad 3948	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝐹)
40		lindsunlem.c	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
41	14, 40	sseldd 3968	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘𝑊))
42		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
43		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
44		lindsunlem.f	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐹 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
45	12, 42, 43, 44	lmodvscl 19651	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝐹 ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ (Base‘𝑊))
46	4, 39, 41, 45	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ (Base‘𝑊))
47	46	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ (Base‘𝑊))
48		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
49	12, 34, 48	grpsubadd 18187	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (((𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶)(-g‘𝑊)𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑦(+g‘𝑊)𝑥) = (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶)))
50	49	biimpar 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ ((𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) ∧ (𝑦(+g‘𝑊)𝑥) = (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶)) → ((𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶)(-g‘𝑊)𝑥) = 𝑦)
51	50	an32s 650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑦(+g‘𝑊)𝑥) = (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶)) ∧ ((𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶)(-g‘𝑊)𝑥) = 𝑦)
52	7, 37, 47, 25, 33, 51	syl23anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → ((𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶)(-g‘𝑊)𝑥) = 𝑦)
53	4	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → 𝑊 ∈ LMod)
54		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
55	12, 54, 15	lspcl 19748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑊))
56	4, 14, 55	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑊))
57	56	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → (𝑁‘𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑊))
58	39	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → 𝐾 ∈ 𝐹)
59	12, 15	lspssid 19757	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊)) → 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈))
60	4, 14, 59	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (𝑁‘𝑈))
61	60, 40	sseldd 3968	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑈))
62	61	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑈))
63	42, 43, 44, 54	lssvscl 19727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ (𝐾 ∈ 𝐹 ∧ 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑈))) → (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘𝑈))
64	53, 57, 58, 62, 63	syl22anc 836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘𝑈))
65	48, 54	lssvsubcl 19715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑈) ∈ (LSubSp‘𝑊)) ∧ ((𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘𝑈))) → ((𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶)(-g‘𝑊)𝑥) ∈ (𝑁‘𝑈))
66	53, 57, 64, 24, 65	syl22anc 836	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → ((𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶)(-g‘𝑊)𝑥) ∈ (𝑁‘𝑈))
67	52, 66	eqeltrrd 2914	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑈))
68	67, 32	elind 4171	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → 𝑦 ∈ ((𝑁‘𝑈) ∩ (𝑁‘𝑉)))
69		lindsun.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑈) ∩ (𝑁‘𝑉)) = { 0 })
70	69	ad3antrrr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → ((𝑁‘𝑈) ∩ (𝑁‘𝑉)) = { 0 })
71	68, 70	eleqtrd 2915	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → 𝑦 ∈ { 0 })
72		elsni 4584	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ { 0 } → 𝑦 = 0 )
73	71, 72	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → 𝑦 = 0 )
74	73	oveq2d 7172	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → (𝑥(+g‘𝑊)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑊) 0 ))
75		lindsun.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
76	12, 34, 75	grprid 18134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑥(+g‘𝑊) 0 ) = 𝑥)
77	7, 25, 76	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → (𝑥(+g‘𝑊) 0 ) = 𝑥)
78	1, 74, 77	3eqtrd 2860	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = 𝑥)
79	78, 23	eqeltrd 2913	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})))
80	40	ad3antrrr 728	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → 𝐶 ∈ 𝑈)
81	38	ad3antrrr 728	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → 𝐾 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂}))
82	2	ad3antrrr 728	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → 𝑊 ∈ LVec)
83	11	ad3antrrr 728	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → 𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊))
84		lindsunlem.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (0g‘(Scalar‘𝑊))
85	12, 43, 15, 42, 44, 84	islinds2 20957	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊) ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑈 ∀𝑘 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝑐})))))
86	85	simplbda 502	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ∀𝑐 ∈ 𝑈 ∀𝑘 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝑐})))
87	82, 83, 86	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → ∀𝑐 ∈ 𝑈 ∀𝑘 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝑐})))
88		oveq2 7164	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) = (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶))
89		sneq 4577	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → {𝑐} = {𝐶})
90	89	difeq2d 4099	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑈 ∖ {𝑐}) = (𝑈 ∖ {𝐶}))
91	90	fveq2d 6674	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝑐})) = (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})))
92	88, 91	eleq12d 2907	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝑐})) ↔ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))))
93	92	notbid 320	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝑐})) ↔ ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))))
94		oveq1 7163	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶))
95	94	eleq1d 2897	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → ((𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ↔ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))))
96	95	notbid 320	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → (¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ↔ ¬ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))))
97	93, 96	rspc2va 3634	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ 𝑈 ∧ 𝐾 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂})) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑈 ∀𝑘 ∈ (𝐹 ∖ {𝑂}) ¬ (𝑘( ·𝑠 ‘𝑊)𝑐) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝑐}))) → ¬ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})))
98	80, 81, 87, 97	syl21anc 835	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → ¬ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})))
99	79, 98	pm2.21fal 1559	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)) → ⊥)
100	14	ssdifssd 4119	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∖ {𝐶}) ⊆ (Base‘𝑊))
101	12, 54, 15	lspcl 19748	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∖ {𝐶}) ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
102	4, 100, 101	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
103	54	lsssubg 19729	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ∈ (SubGrp‘𝑊))
104	4, 102, 103	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ∈ (SubGrp‘𝑊))
105	12, 54, 15	lspcl 19748	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘𝑉) ∈ (LSubSp‘𝑊))
106	4, 28, 105	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑉) ∈ (LSubSp‘𝑊))
107	54	lsssubg 19729	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝑉) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑁‘𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑊))
108	4, 106, 107	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑊))
109		lindsunlem.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝐶})))
110		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
111	12, 15, 110	lsmsp2 19859	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ∖ {𝐶}) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))(LSSum‘𝑊)(𝑁‘𝑉)) = (𝑁‘((𝑈 ∖ {𝐶}) ∪ 𝑉)))
112	4, 100, 28, 111	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))(LSSum‘𝑊)(𝑁‘𝑉)) = (𝑁‘((𝑈 ∖ {𝐶}) ∪ 𝑉)))
113	61	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑈))
114	12, 15	lspssid 19757	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑉 ⊆ (Base‘𝑊)) → 𝑉 ⊆ (𝑁‘𝑉))
115	4, 28, 114	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ (𝑁‘𝑉))
116	115	sselda 3967	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 ∈ (𝑁‘𝑉))
117	113, 116	elind 4171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 ∈ ((𝑁‘𝑈) ∩ (𝑁‘𝑉)))
118	69	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘𝑈) ∩ (𝑁‘𝑉)) = { 0 })
119	117, 118	eleqtrd 2915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 ∈ { 0 })
120		elsni 4584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ { 0 } → 𝐶 = 0 )
121	119, 120	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 = 0 )
122	75	0nellinds 30935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ (LIndS‘𝑊)) → ¬ 0 ∈ 𝑈)
123	2, 11, 122	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ 𝑈)
124		nelne2 3115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑈 ∧ ¬ 0 ∈ 𝑈) → 𝐶 ≠ 0 )
125	40, 123, 124	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0 )
126	125	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 ≠ 0 )
127	126	neneqd 3021	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ¬ 𝐶 = 0 )
128	121, 127	pm2.65da 815	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝑉)
129		disjsn 4647	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑉 ∩ {𝐶}) = ∅ ↔ ¬ 𝐶 ∈ 𝑉)
130	128, 129	sylibr 236	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∩ {𝐶}) = ∅)
131		undif4 4416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∩ {𝐶}) = ∅ → (𝑉 ∪ (𝑈 ∖ {𝐶})) = ((𝑉 ∪ 𝑈) ∖ {𝐶}))
132	130, 131	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∪ (𝑈 ∖ {𝐶})) = ((𝑉 ∪ 𝑈) ∖ {𝐶}))
133		uncom 4129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∖ {𝐶}) ∪ 𝑉) = (𝑉 ∪ (𝑈 ∖ {𝐶}))
134		uncom 4129	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∪ 𝑉) = (𝑉 ∪ 𝑈)
135	134	difeq1i 4095	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝐶}) = ((𝑉 ∪ 𝑈) ∖ {𝐶})
136	132, 133, 135	3eqtr4g 2881	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ∖ {𝐶}) ∪ 𝑉) = ((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝐶}))
137	136	fveq2d 6674	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘((𝑈 ∖ {𝐶}) ∪ 𝑉)) = (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝐶})))
138	112, 137	eqtrd 2856	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))(LSSum‘𝑊)(𝑁‘𝑉)) = (𝑁‘((𝑈 ∪ 𝑉) ∖ {𝐶})))
139	109, 138	eleqtrrd 2916	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ ((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))(LSSum‘𝑊)(𝑁‘𝑉)))
140	34, 110	lsmelval 18774	. . . 4 ⊢ (((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ ((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))(LSSum‘𝑊)(𝑁‘𝑉)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))∃𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)(𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦)))
141	140	biimpa 479	. . 3 ⊢ ((((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶})) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘𝑉) ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ (𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) ∈ ((𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))(LSSum‘𝑊)(𝑁‘𝑉))) → ∃𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))∃𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)(𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦))
142	104, 108, 139, 141	syl21anc 835	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑈 ∖ {𝐶}))∃𝑦 ∈ (𝑁‘𝑉)(𝐾( ·𝑠 ‘𝑊)𝐶) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦))
143	99, 142	r19.29vva 3336	1 ⊢ (𝜑 → ⊥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537  ⊥wfal 1549   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  ∃wrex 3139   ∖ cdif 3933   ∪ cun 3934   ∩ cin 3935   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291  {csn 4567  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Basecbs 16483  +_gcplusg 16565  Scalarcsca 16568   ·_𝑠 cvsca 16569  0_gc0g 16713  Grpcgrp 18103  -_gcsg 18105  SubGrpcsubg 18273  LSSumclsm 18759  Abelcabl 18907  LModclmod 19634  LSubSpclss 19703  LSpanclspn 19743  LVecclvec 19874  LIndSclinds 20949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-tpos 7892  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-cntz 18447  df-lsm 18761  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-drng 19504  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744  df-lvec 19875  df-lindf 20950  df-linds 20951

This theorem is referenced by:  lindsun  31021