Theorem frgpnabl 18990

Description: The free group on two or more generators is not abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
frgpnabl.g	⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frgpnabl	⊢ (1o ≺ 𝐼 → ¬ 𝐺 ∈ Abel)

Proof of Theorem frgpnabl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑛 𝑣 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 8509	. . . . 5 ⊢ Rel ≺
2	1	brrelex2i 5602	. . . 4 ⊢ (1o ≺ 𝐼 → 𝐼 ∈ V)
3		1sdom 8714	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ V → (1o ≺ 𝐼 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐼 ∃𝑏 ∈ 𝐼 ¬ 𝑎 = 𝑏))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (1o ≺ 𝐼 → (1o ≺ 𝐼 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐼 ∃𝑏 ∈ 𝐼 ¬ 𝑎 = 𝑏))
5	4	ibi 269	. 2 ⊢ (1o ≺ 𝐼 → ∃𝑎 ∈ 𝐼 ∃𝑏 ∈ 𝐼 ¬ 𝑎 = 𝑏)
6		frgpnabl.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
7		eqid 2820	. . . . . 6 ⊢ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
8		eqid 2820	. . . . . 6 ⊢ ( ~FG ‘𝐼) = ( ~FG ‘𝐼)
9		eqid 2820	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
10		eqid 2820	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩) = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)
11		eqid 2820	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩))) = (𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))
12		eqid 2820	. . . . . 6 ⊢ (( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∖ ∪ 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))ran ((𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))‘𝑥)) = (( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ∖ ∪ 𝑥 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o))ran ((𝑣 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2o) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤((𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2o ↦ ⟨𝑦, (1o ∖ 𝑧)⟩)‘𝑤)”⟩⟩)))‘𝑥))
13		eqid 2820	. . . . . 6 ⊢ (varFGrp‘𝐼) = (varFGrp‘𝐼)
14	2	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → 𝐼 ∈ V)
15		simplrl 775	. . . . . 6 ⊢ (((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → 𝑎 ∈ 𝐼)
16		simplrr 776	. . . . . 6 ⊢ (((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → 𝑏 ∈ 𝐼)
17		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ (((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → 𝐺 ∈ Abel)
18		eqid 2820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
19	8, 13, 6, 18	vrgpf 18889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ V → (varFGrp‘𝐼):𝐼⟶(Base‘𝐺))
20	14, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → (varFGrp‘𝐼):𝐼⟶(Base‘𝐺))
21	20, 15	ffvelrnd 6845	. . . . . . 7 ⊢ (((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → ((varFGrp‘𝐼)‘𝑎) ∈ (Base‘𝐺))
22	20, 16	ffvelrnd 6845	. . . . . . 7 ⊢ (((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → ((varFGrp‘𝐼)‘𝑏) ∈ (Base‘𝐺))
23	18, 9	ablcom 18919	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ ((varFGrp‘𝐼)‘𝑎) ∈ (Base‘𝐺) ∧ ((varFGrp‘𝐼)‘𝑏) ∈ (Base‘𝐺)) → (((varFGrp‘𝐼)‘𝑎)(+g‘𝐺)((varFGrp‘𝐼)‘𝑏)) = (((varFGrp‘𝐼)‘𝑏)(+g‘𝐺)((varFGrp‘𝐼)‘𝑎)))
24	17, 21, 22, 23	syl3anc 1366	. . . . . 6 ⊢ (((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → (((varFGrp‘𝐼)‘𝑎)(+g‘𝐺)((varFGrp‘𝐼)‘𝑏)) = (((varFGrp‘𝐼)‘𝑏)(+g‘𝐺)((varFGrp‘𝐼)‘𝑎)))
25	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 24	frgpnabllem2 18989	. . . . 5 ⊢ (((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) ∧ 𝐺 ∈ Abel) → 𝑎 = 𝑏)
26	25	ex 415	. . . 4 ⊢ ((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) → (𝐺 ∈ Abel → 𝑎 = 𝑏))
27	26	con3d 155	. . 3 ⊢ ((1o ≺ 𝐼 ∧ (𝑎 ∈ 𝐼 ∧ 𝑏 ∈ 𝐼)) → (¬ 𝑎 = 𝑏 → ¬ 𝐺 ∈ Abel))
28	27	rexlimdvva 3293	. 2 ⊢ (1o ≺ 𝐼 → (∃𝑎 ∈ 𝐼 ∃𝑏 ∈ 𝐼 ¬ 𝑎 = 𝑏 → ¬ 𝐺 ∈ Abel))
29	5, 28	mpd 15	1 ⊢ (1o ≺ 𝐼 → ¬ 𝐺 ∈ Abel)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3138  Vcvv 3491   ∖ cdif 3926  ⟨cop 4566  ⟨cotp 4568  ∪ ciun 4912   class class class wbr 5059   ↦ cmpt 5139   I cid 5452   × cxp 5546  ran crn 5549  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7149   ∈ cmpo 7151  1_oc1o 8088  2_oc2o 8089   ≺ csdm 8501  0cc0 10530  ...cfz 12889  ♯chash 13687  Word cword 13858   splice csplice 14106  ⟨“cs2 14198  Basecbs 16478  +_gcplusg 16560   ~_FG cefg 18827  freeGrpcfrgp 18828  var_FGrpcvrgp 18829  Abelcabl 18902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-ot 4569  df-uni 4832  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7574  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-1o 8095  df-2o 8096  df-oadd 8099  df-er 8282  df-ec 8284  df-qs 8288  df-map 8401  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-fin 8506  df-sup 8899  df-inf 8900  df-card 9361  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11632  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-rp 12384  df-fz 12890  df-fzo 13031  df-hash 13688  df-word 13859  df-lsw 13910  df-concat 13918  df-s1 13945  df-substr 13998  df-pfx 14028  df-splice 14107  df-reverse 14116  df-s2 14205  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-0g 16710  df-imas 16776  df-qus 16777  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-frmd 18009  df-grp 18101  df-efg 18830  df-frgp 18831  df-vrgp 18832  df-cmn 18903  df-abl 18904

This theorem is referenced by:  frgpcyg  20715