Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ac6sf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ac6sf2 29413
Description: Alternate version of ac6 9299 with bound-variable hypothesis. (Contributed by NM, 2-Mar-2008.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ac6sf2.y 𝑦𝐵
ac6sf2.1 𝑦𝜓
ac6sf2.2 𝐴 ∈ V
ac6sf2.3 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
ac6sf2 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝐴   𝑥,𝐵,𝑓   𝜑,𝑓   𝑥,𝑦,𝑓
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑓)   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem ac6sf2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ac6sf2.y . . . 4 𝑦𝐵
2 nfcv 2763 . . . 4 𝑧𝐵
3 nfv 1842 . . . 4 𝑧𝜑
4 nfs1v 2436 . . . 4 𝑦[𝑧 / 𝑦]𝜑
5 sbequ12 2110 . . . 4 (𝑦 = 𝑧 → (𝜑 ↔ [𝑧 / 𝑦]𝜑))
61, 2, 3, 4, 5cbvrexf 3164 . . 3 (∃𝑦𝐵 𝜑 ↔ ∃𝑧𝐵 [𝑧 / 𝑦]𝜑)
76ralbii 2979 . 2 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 ↔ ∀𝑥𝐴𝑧𝐵 [𝑧 / 𝑦]𝜑)
8 ac6sf2.2 . . 3 𝐴 ∈ V
9 ac6sf2.1 . . . 4 𝑦𝜓
10 ac6sf2.3 . . . 4 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝜑𝜓))
119, 10sbhypf 3251 . . 3 (𝑧 = (𝑓𝑥) → ([𝑧 / 𝑦]𝜑𝜓))
128, 11ac6s 9303 . 2 (∀𝑥𝐴𝑧𝐵 [𝑧 / 𝑦]𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
137, 12sylbi 207 1 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴 𝜓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1482  wex 1703  wnf 1707  [wsb 1879  wcel 1989  wnfc 2750  wral 2911  wrex 2912  Vcvv 3198  wf 5882  cfv 5886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-reg 8494  ax-inf2 8535  ax-ac2 9282
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-iin 4521  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-se 5072  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-isom 5895  df-riota 6608  df-om 7063  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-en 7953  df-r1 8624  df-rank 8625  df-card 8762  df-ac 8936
This theorem is referenced by:  acunirnmpt2f  29445
  Copyright terms: Public domain W3C validator