MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsfn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acsfn2 16240
Description: Algebraicity of a two-argument closure condition. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
acsfn2 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 𝐸𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏𝑎𝑐𝑎 𝐸𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐,𝑉   𝑋,𝑎,𝑏,𝑐   𝐸,𝑎
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑏,𝑐)

Proof of Theorem acsfn2
StepHypRef Expression
1 elpwi 4145 . . . . 5 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋𝑎𝑋)
2 ralss 3652 . . . . . 6 (𝑎𝑋 → (∀𝑏𝑎𝑐𝑎 𝐸𝑎 ↔ ∀𝑏𝑋 (𝑏𝑎 → ∀𝑐𝑎 𝐸𝑎)))
3 ralss 3652 . . . . . . . 8 (𝑎𝑋 → (∀𝑐𝑎 (𝑏𝑎𝐸𝑎) ↔ ∀𝑐𝑋 (𝑐𝑎 → (𝑏𝑎𝐸𝑎))))
4 r19.21v 2959 . . . . . . . 8 (∀𝑐𝑎 (𝑏𝑎𝐸𝑎) ↔ (𝑏𝑎 → ∀𝑐𝑎 𝐸𝑎))
5 impexp 462 . . . . . . . . . 10 (((𝑐𝑎𝑏𝑎) → 𝐸𝑎) ↔ (𝑐𝑎 → (𝑏𝑎𝐸𝑎)))
6 vex 3194 . . . . . . . . . . . 12 𝑐 ∈ V
7 vex 3194 . . . . . . . . . . . 12 𝑏 ∈ V
86, 7prss 4324 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐𝑎𝑏𝑎) ↔ {𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎)
98imbi1i 339 . . . . . . . . . 10 (((𝑐𝑎𝑏𝑎) → 𝐸𝑎) ↔ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎))
105, 9bitr3i 266 . . . . . . . . 9 ((𝑐𝑎 → (𝑏𝑎𝐸𝑎)) ↔ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎))
1110ralbii 2979 . . . . . . . 8 (∀𝑐𝑋 (𝑐𝑎 → (𝑏𝑎𝐸𝑎)) ↔ ∀𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎))
123, 4, 113bitr3g 302 . . . . . . 7 (𝑎𝑋 → ((𝑏𝑎 → ∀𝑐𝑎 𝐸𝑎) ↔ ∀𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)))
1312ralbidv 2985 . . . . . 6 (𝑎𝑋 → (∀𝑏𝑋 (𝑏𝑎 → ∀𝑐𝑎 𝐸𝑎) ↔ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)))
142, 13bitrd 268 . . . . 5 (𝑎𝑋 → (∀𝑏𝑎𝑐𝑎 𝐸𝑎 ↔ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)))
151, 14syl 17 . . . 4 (𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 → (∀𝑏𝑎𝑐𝑎 𝐸𝑎 ↔ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)))
1615rabbiia 3178 . . 3 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏𝑎𝑐𝑎 𝐸𝑎} = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}
17 riinrab 4567 . . 3 (𝒫 𝑋 𝑏𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}
1816, 17eqtr4i 2651 . 2 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏𝑎𝑐𝑎 𝐸𝑎} = (𝒫 𝑋 𝑏𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)})
19 mreacs 16235 . . . 4 (𝑋𝑉 → (ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋))
2019adantr 481 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 𝐸𝑋) → (ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋))
21 riinrab 4567 . . . . . . 7 (𝒫 𝑋 𝑐𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}
2219ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑏𝑋) ∧ ∀𝑐𝑋 𝐸𝑋) → (ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋))
23 simpll 789 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋𝑉𝑏𝑋) ∧ (𝑐𝑋𝐸𝑋)) → 𝑋𝑉)
24 simprr 795 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋𝑉𝑏𝑋) ∧ (𝑐𝑋𝐸𝑋)) → 𝐸𝑋)
25 prssi 4326 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐𝑋𝑏𝑋) → {𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑋)
2625ancoms 469 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏𝑋𝑐𝑋) → {𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑋)
2726ad2ant2lr 783 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋𝑉𝑏𝑋) ∧ (𝑐𝑋𝐸𝑋)) → {𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑋)
28 prfi 8180 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑐, 𝑏} ∈ Fin
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋𝑉𝑏𝑋) ∧ (𝑐𝑋𝐸𝑋)) → {𝑐, 𝑏} ∈ Fin)
30 acsfn 16236 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋𝑉𝐸𝑋) ∧ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑋 ∧ {𝑐, 𝑏} ∈ Fin)) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
3123, 24, 27, 29, 30syl22anc 1324 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋𝑉𝑏𝑋) ∧ (𝑐𝑋𝐸𝑋)) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
3231expr 642 . . . . . . . . . 10 (((𝑋𝑉𝑏𝑋) ∧ 𝑐𝑋) → (𝐸𝑋 → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
3332ralimdva 2961 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑏𝑋) → (∀𝑐𝑋 𝐸𝑋 → ∀𝑐𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
3433imp 445 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑏𝑋) ∧ ∀𝑐𝑋 𝐸𝑋) → ∀𝑐𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
35 mreriincl 16174 . . . . . . . 8 (((ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋) ∧ ∀𝑐𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)) → (𝒫 𝑋 𝑐𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}) ∈ (ACS‘𝑋))
3622, 34, 35syl2anc 692 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝑏𝑋) ∧ ∀𝑐𝑋 𝐸𝑋) → (𝒫 𝑋 𝑐𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}) ∈ (ACS‘𝑋))
3721, 36syl5eqelr 2709 . . . . . 6 (((𝑋𝑉𝑏𝑋) ∧ ∀𝑐𝑋 𝐸𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
3837ex 450 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑏𝑋) → (∀𝑐𝑋 𝐸𝑋 → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
3938ralimdva 2961 . . . 4 (𝑋𝑉 → (∀𝑏𝑋𝑐𝑋 𝐸𝑋 → ∀𝑏𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)))
4039imp 445 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 𝐸𝑋) → ∀𝑏𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋))
41 mreriincl 16174 . . 3 (((ACS‘𝑋) ∈ (Moore‘𝒫 𝑋) ∧ ∀𝑏𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)} ∈ (ACS‘𝑋)) → (𝒫 𝑋 𝑏𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}) ∈ (ACS‘𝑋))
4220, 40, 41syl2anc 692 . 2 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 𝐸𝑋) → (𝒫 𝑋 𝑏𝑋 {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑐𝑋 ({𝑐, 𝑏} ⊆ 𝑎𝐸𝑎)}) ∈ (ACS‘𝑋))
4318, 42syl5eqel 2708 1 ((𝑋𝑉 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 𝐸𝑋) → {𝑎 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑏𝑎𝑐𝑎 𝐸𝑎} ∈ (ACS‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  wcel 1992  wral 2912  {crab 2916  cin 3559  wss 3560  𝒫 cpw 4135  {cpr 4155   ciin 4491  cfv 5850  Fincfn 7900  Moorecmre 16158  ACScacs 16161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-fin 7904  df-mre 16162  df-mrc 16163  df-acs 16165
This theorem is referenced by:  submacs  17281  submgmacs  41065
  Copyright terms: Public domain W3C validator