Theorem prfi 8400

Description: An unordered pair is finite. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
prfi	⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin

Proof of Theorem prfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4324	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
2		snfi 8203	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
3		snfi 8203	. . 3 ⊢ {𝐵} ∈ Fin
4		unfi 8392	. . 3 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {𝐵} ∈ Fin) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
5	2, 3, 4	mp2an 710	. 2 ⊢ ({𝐴} ∪ {𝐵}) ∈ Fin
6	1, 5	eqeltri 2835	1 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin

Syntax hints:   ∈ wcel 2139   ∪ cun 3713  {csn 4321  {cpr 4323  Fincfn 8121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-fin 8125

This theorem is referenced by:  tpfi  8401  fiint  8402  inelfi  8489  tskpr  9784  hashpw  13415  hashfun  13416  pr2pwpr  13453  hashtpg  13459  sumpr  14676  lcmfpr  15542  prmreclem2  15823  acsfn2  16525  isdrs2  17140  symg2hash  18017  psgnprfval  18141  znidomb  20112  m2detleib  20639  ovolioo  23536  i1f1  23656  itgioo  23781  limcun  23858  aannenlem2  24283  wilthlem2  24994  perfectlem2  25154  upgrex  26186  ex-hash  27621  prodpr  29881  inelpisys  30526  coinfliplem  30849  coinflippv  30854  subfacp1lem1  31468  poimirlem9  33731  kelac2lem  38136  sumpair  39693  refsum2cnlem1  39695  climxlim2lem  40574  ibliooicc  40690  fourierdlem50  40876  fourierdlem51  40877  fourierdlem54  40880  fourierdlem70  40896  fourierdlem71  40897  fourierdlem76  40902  fourierdlem102  40928  fourierdlem103  40929  fourierdlem104  40930  fourierdlem114  40940  saluncl  41040  sge0pr  41114  meadjun  41182  omeunle  41236  perfectALTVlem2  42141  zlmodzxzel  42643  gsumpr  42649  ldepspr  42772  zlmodzxzldeplem2  42800