Theorem prfi 8179

Description: An unordered pair is finite. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
prfi	⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin

Proof of Theorem prfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4151	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
2		snfi 7982	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
3		snfi 7982	. . 3 ⊢ {𝐵} ∈ Fin
4		unfi 8171	. . 3 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {𝐵} ∈ Fin) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
5	2, 3, 4	mp2an 707	. 2 ⊢ ({𝐴} ∪ {𝐵}) ∈ Fin
6	1, 5	eqeltri 2694	1 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin

Syntax hints:   ∈ wcel 1987   ∪ cun 3553  {csn 4148  {cpr 4150  Fincfn 7899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-fin 7903

This theorem is referenced by:  tpfi  8180  fiint  8181  inelfi  8268  tskpr  9536  hashpw  13163  hashfun  13164  pr2pwpr  13199  hashtpg  13205  sumpr  14407  lcmfpr  15264  isprm2lem  15318  prmreclem2  15545  acsfn2  16245  isdrs2  16860  symg2hash  17738  psgnprfval  17862  znidomb  19829  m2detleib  20356  ovolioo  23243  i1f1  23363  itgioo  23488  limcun  23565  aannenlem2  23988  wilthlem2  24695  perfectlem2  24855  upgrex  25883  ex-hash  27164  inelpisys  29995  coinfliplem  30318  coinflippv  30323  subfacp1lem1  30866  poimirlem9  33047  kelac2lem  37111  sumpair  38674  refsum2cnlem1  38676  ibliooicc  39491  fourierdlem50  39677  fourierdlem51  39678  fourierdlem54  39681  fourierdlem70  39697  fourierdlem71  39698  fourierdlem76  39703  fourierdlem102  39729  fourierdlem103  39730  fourierdlem104  39731  fourierdlem114  39741  saluncl  39841  sge0pr  39915  meadjun  39983  omeunle  40034  perfectALTVlem2  40923  zlmodzxzel  41418  gsumpr  41424  ldepspr  41547  zlmodzxzldeplem2  41575