Theorem prfi 8793

Description: An unordered pair is finite. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
prfi	⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin

Proof of Theorem prfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4570	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
2		snfi 8594	. . 3 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
3		snfi 8594	. . 3 ⊢ {𝐵} ∈ Fin
4		unfi 8785	. . 3 ⊢ (({𝐴} ∈ Fin ∧ {𝐵} ∈ Fin) → ({𝐴} ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
5	2, 3, 4	mp2an 690	. 2 ⊢ ({𝐴} ∪ {𝐵}) ∈ Fin
6	1, 5	eqeltri 2909	1 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3934  {csn 4567  {cpr 4569  Fincfn 8509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-fin 8513

This theorem is referenced by:  tpfi  8794  fiint  8795  inelfi  8882  tskpr  10192  hashpw  13798  hashfun  13799  pr2pwpr  13838  hashtpg  13844  sumpr  15103  lcmfpr  15971  prmreclem2  16253  acsfn2  16934  isdrs2  17549  efmnd2hash  18059  symg2hash  18520  psgnprfval  18649  gsumpr  19075  znidomb  20708  m2detleib  21240  ovolioo  24169  i1f1  24291  itgioo  24416  limcun  24493  aannenlem2  24918  wilthlem2  25646  perfectlem2  25806  upgrex  26877  ex-hash  28232  prodpr  30542  linds2eq  30941  inelpisys  31413  coinfliplem  31736  coinflippv  31741  subfacp1lem1  32426  poimirlem9  34916  kelac2lem  39684  sumpair  41312  refsum2cnlem1  41314  climxlim2lem  42146  ibliooicc  42276  fourierdlem50  42461  fourierdlem51  42462  fourierdlem54  42465  fourierdlem70  42481  fourierdlem71  42482  fourierdlem76  42487  fourierdlem102  42513  fourierdlem103  42514  fourierdlem104  42515  fourierdlem114  42525  saluncl  42622  sge0pr  42696  meadjun  42764  omeunle  42818  perfectALTVlem2  43907  zlmodzxzel  44423  ldepspr  44548  zlmodzxzldeplem2  44576  rrx2line  44747  2sphere  44756