Theorem alephfplem1 9516

Description: Lemma for alephfp 9520. (Contributed by NM, 6-Nov-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
alephfplem.1	⊢ 𝐻 = (rec(ℵ, ω) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
alephfplem1	⊢ (𝐻‘∅) ∈ ran ℵ

Proof of Theorem alephfplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 9092	. . . 4 ⊢ ω ∈ V
2		fr0g 8057	. . . 4 ⊢ (ω ∈ V → ((rec(ℵ, ω) ↾ ω)‘∅) = ω)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((rec(ℵ, ω) ↾ ω)‘∅) = ω
4		alephfplem.1	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (rec(ℵ, ω) ↾ ω)
5	4	fveq1i 6657	. . 3 ⊢ (𝐻‘∅) = ((rec(ℵ, ω) ↾ ω)‘∅)
6		aleph0 9478	. . 3 ⊢ (ℵ‘∅) = ω
7	3, 5, 6	3eqtr4i 2854	. 2 ⊢ (𝐻‘∅) = (ℵ‘∅)
8		alephfnon 9477	. . 3 ⊢ ℵ Fn On
9		0elon 6230	. . 3 ⊢ ∅ ∈ On
10		fnfvelrn 6834	. . 3 ⊢ ((ℵ Fn On ∧ ∅ ∈ On) → (ℵ‘∅) ∈ ran ℵ)
11	8, 9, 10	mp2an 690	. 2 ⊢ (ℵ‘∅) ∈ ran ℵ
12	7, 11	eqeltri 2909	1 ⊢ (𝐻‘∅) ∈ ran ℵ

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3486  ∅c0 4279  ran crn 5542   ↾ cres 5543  Oncon0 6177   Fn wfn 6336  ‘cfv 6341  ωcom 7566  reccrdg 8031  ℵcale 9351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-inf2 9090

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-pss 3942  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-tp 4558  df-op 4560  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5446  df-eprel 5451  df-po 5460  df-so 5461  df-fr 5500  df-we 5502  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-pred 6134  df-ord 6180  df-on 6181  df-lim 6182  df-suc 6183  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-om 7567  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-aleph 9355

This theorem is referenced by:  alephfplem3  9518  alephfplem4  9519