Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atlen0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atlen0 35118
Description: A lattice element is nonzero if an atom is under it. (Contributed by NM, 26-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atlen0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atlen0.l = (le‘𝐾)
atlen0.z 0 = (0.‘𝐾)
atlen0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atlen0 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑋0 )

Proof of Theorem atlen0
StepHypRef Expression
1 simpl1 1228 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝐾 ∈ AtLat)
2 atlen0.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 atlen0.z . . . . . 6 0 = (0.‘𝐾)
42, 3atl0cl 35111 . . . . 5 (𝐾 ∈ AtLat → 0𝐵)
51, 4syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 0𝐵)
6 simpl2 1230 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑋𝐵)
71, 5, 63jca 1123 . . 3 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝐾 ∈ AtLat ∧ 0𝐵𝑋𝐵))
8 simpl3 1232 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑃𝐴)
9 atlen0.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
102, 9atbase 35097 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
118, 10syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑃𝐵)
12 eqid 2760 . . . . . . 7 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
133, 12, 9atcvr0 35096 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
141, 8, 13syl2anc 696 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
15 eqid 2760 . . . . . 6 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
162, 15, 12cvrlt 35078 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 0𝐵𝑃𝐵) ∧ 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃) → 0 (lt‘𝐾)𝑃)
171, 5, 11, 14, 16syl31anc 1480 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 0 (lt‘𝐾)𝑃)
18 simpr 479 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑃 𝑋)
19 atlpos 35109 . . . . . 6 (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
201, 19syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝐾 ∈ Poset)
21 atlen0.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
222, 21, 15pltletr 17192 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0𝐵𝑃𝐵𝑋𝐵)) → (( 0 (lt‘𝐾)𝑃𝑃 𝑋) → 0 (lt‘𝐾)𝑋))
2320, 5, 11, 6, 22syl13anc 1479 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → (( 0 (lt‘𝐾)𝑃𝑃 𝑋) → 0 (lt‘𝐾)𝑋))
2417, 18, 23mp2and 717 . . 3 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 0 (lt‘𝐾)𝑋)
2515pltne 17183 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 0𝐵𝑋𝐵) → ( 0 (lt‘𝐾)𝑋0𝑋))
267, 24, 25sylc 65 . 2 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 0𝑋)
2726necomd 2987 1 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑋0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932   class class class wbr 4804  cfv 6049  Basecbs 16079  lecple 16170  Posetcpo 17161  ltcplt 17162  0.cp0 17258  ccvr 35070  Atomscatm 35071  AtLatcal 35072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-glb 17196  df-p0 17260  df-lat 17267  df-covers 35074  df-ats 35075  df-atl 35106
This theorem is referenced by:  ps-2b  35289  2atm  35334  2llnm4  35377  dalem21  35501  dalem54  35533  trlval3  35995  cdlemc5  36003
  Copyright terms: Public domain W3C validator