Theorem atlen0 34077

Description: A lattice element is nonzero if an atom is under it. (Contributed by NM, 26-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
atlen0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atlen0.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atlen0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
atlen0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atlen0	⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑋 ≠ 0 )

Proof of Theorem atlen0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1062	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ AtLat)
2		atlen0.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		atlen0.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4	2, 3	atl0cl 34070	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 0 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 0 ∈ 𝐵)
6		simpl2 1063	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7	1, 5, 6	3jca 1240	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → (𝐾 ∈ AtLat ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
8		simpl3 1064	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑃 ∈ 𝐴)
9		atlen0.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10	2, 9	atbase 34056	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
11	8, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑃 ∈ 𝐵)
12		eqid 2621	. . . . . . 7 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
13	3, 12, 9	atcvr0 34055	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
14	1, 8, 13	syl2anc 692	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
15		eqid 2621	. . . . . 6 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
16	2, 15, 12	cvrlt 34037	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) ∧ 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃) → 0 (lt‘𝐾)𝑃)
17	1, 5, 11, 14, 16	syl31anc 1326	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 0 (lt‘𝐾)𝑃)
18		simpr 477	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑃 ≤ 𝑋)
19		atlpos 34068	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
20	1, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝐾 ∈ Poset)
21		atlen0.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
22	2, 21, 15	pltletr 16892	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (( 0 (lt‘𝐾)𝑃 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 0 (lt‘𝐾)𝑋))
23	20, 5, 11, 6, 22	syl13anc 1325	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → (( 0 (lt‘𝐾)𝑃 ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 0 (lt‘𝐾)𝑋))
24	17, 18, 23	mp2and 714	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 0 (lt‘𝐾)𝑋)
25	15	pltne 16883	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 (lt‘𝐾)𝑋 → 0 ≠ 𝑋))
26	7, 24, 25	sylc 65	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 0 ≠ 𝑋)
27	26	necomd 2845	1 ⊢ (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≤ 𝑋) → 𝑋 ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790   class class class wbr 4613  ‘cfv 5847  Basecbs 15781  lecple 15869  Posetcpo 16861  ltcplt 16862  0.cp0 16958   ⋖ ccvr 34029  Atomscatm 34030  AtLatcal 34031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-preset 16849  df-poset 16867  df-plt 16879  df-glb 16896  df-p0 16960  df-lat 16967  df-covers 34033  df-ats 34034  df-atl 34065

This theorem is referenced by:  ps-2b  34248  2atm  34293  2llnm4  34336  dalem21  34460  dalem54  34492  trlval3  34954  cdlemc5  34962