Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atlen0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atlen0 34077
Description: A lattice element is nonzero if an atom is under it. (Contributed by NM, 26-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atlen0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atlen0.l = (le‘𝐾)
atlen0.z 0 = (0.‘𝐾)
atlen0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atlen0 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑋0 )

Proof of Theorem atlen0
StepHypRef Expression
1 simpl1 1062 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝐾 ∈ AtLat)
2 atlen0.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 atlen0.z . . . . . 6 0 = (0.‘𝐾)
42, 3atl0cl 34070 . . . . 5 (𝐾 ∈ AtLat → 0𝐵)
51, 4syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 0𝐵)
6 simpl2 1063 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑋𝐵)
71, 5, 63jca 1240 . . 3 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝐾 ∈ AtLat ∧ 0𝐵𝑋𝐵))
8 simpl3 1064 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑃𝐴)
9 atlen0.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
102, 9atbase 34056 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
118, 10syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑃𝐵)
12 eqid 2621 . . . . . . 7 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
133, 12, 9atcvr0 34055 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
141, 8, 13syl2anc 692 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃)
15 eqid 2621 . . . . . 6 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
162, 15, 12cvrlt 34037 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 0𝐵𝑃𝐵) ∧ 0 ( ⋖ ‘𝐾)𝑃) → 0 (lt‘𝐾)𝑃)
171, 5, 11, 14, 16syl31anc 1326 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 0 (lt‘𝐾)𝑃)
18 simpr 477 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑃 𝑋)
19 atlpos 34068 . . . . . 6 (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Poset)
201, 19syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝐾 ∈ Poset)
21 atlen0.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
222, 21, 15pltletr 16892 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0𝐵𝑃𝐵𝑋𝐵)) → (( 0 (lt‘𝐾)𝑃𝑃 𝑋) → 0 (lt‘𝐾)𝑋))
2320, 5, 11, 6, 22syl13anc 1325 . . . 4 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → (( 0 (lt‘𝐾)𝑃𝑃 𝑋) → 0 (lt‘𝐾)𝑋))
2417, 18, 23mp2and 714 . . 3 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 0 (lt‘𝐾)𝑋)
2515pltne 16883 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 0𝐵𝑋𝐵) → ( 0 (lt‘𝐾)𝑋0𝑋))
267, 24, 25sylc 65 . 2 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 0𝑋)
2726necomd 2845 1 (((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑋0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4613  cfv 5847  Basecbs 15781  lecple 15869  Posetcpo 16861  ltcplt 16862  0.cp0 16958  ccvr 34029  Atomscatm 34030  AtLatcal 34031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-preset 16849  df-poset 16867  df-plt 16879  df-glb 16896  df-p0 16960  df-lat 16967  df-covers 34033  df-ats 34034  df-atl 34065
This theorem is referenced by:  ps-2b  34248  2atm  34293  2llnm4  34336  dalem21  34460  dalem54  34492  trlval3  34954  cdlemc5  34962
  Copyright terms: Public domain W3C validator