Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  axccd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axccd2 39744
Description: An alternative version of the axiom of countable choice. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
axccd2.1 (𝜑𝐴 ≼ ω)
axccd2.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
axccd2 (𝜑 → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝜑,𝑓,𝑥

Proof of Theorem axccd2
StepHypRef Expression
1 isfinite2 8259 . . . . 5 (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin)
21adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≺ ω) → 𝐴 ∈ Fin)
3 simpr 476 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≺ ω) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
4 axccd2.2 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
54adantlr 751 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≺ ω) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
62, 3, 5choicefi 39706 . . 3 ((𝜑𝐴 ≺ ω) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
7 simpr 476 . . . . 5 ((𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) → ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
87a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≺ ω) → ((𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) → ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
98eximdv 1886 . . 3 ((𝜑𝐴 ≺ ω) → (∃𝑓(𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
106, 9mpd 15 . 2 ((𝜑𝐴 ≺ ω) → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
11 axccd2.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ≼ ω)
1211anim1i 591 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω) → (𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω))
13 bren2 8028 . . . 4 (𝐴 ≈ ω ↔ (𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω))
1412, 13sylibr 224 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω) → 𝐴 ≈ ω)
15 simpr 476 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≈ ω) → 𝐴 ≈ ω)
164adantlr 751 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≈ ω) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
1715, 16axccd 39743 . . 3 ((𝜑𝐴 ≈ ω) → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
1814, 17syldan 486 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω) → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
1910, 18pm2.61dan 849 1 (𝜑 → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  c0 3948   class class class wbr 4685   Fn wfn 5921  cfv 5926  ωcom 7107  cen 7994  cdom 7995  csdm 7996  Fincfn 7997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cc 9295
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001
This theorem is referenced by:  smflimlem6  41305  smfpimcc  41335
  Copyright terms: Public domain W3C validator