Theorem axi2m1 5265

Description: i-squared equals -1 (expressed as i-squared plus 1 is 0). Axiom 19 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axi2m1	⊢ ((i · i) + 1) = 0

Proof of Theorem axi2m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 5169	. . . . . . 7 ⊢ 0R ∈ R
2		1r 5170	. . . . . . 7 ⊢ 1R ∈ R
3	1, 2	pm3.2i 285	. . . . . 6 ⊢ (0R ∈ R ⋀ 1R ∈ R)
4		mulcnsr 5234	. . . . . 6 ⊢ (((0R ∈ R ⋀ 1R ∈ R) ⋀ (0R ∈ R ⋀ 1R ∈ R)) → (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩)
5	3, 3, 4	mp2an 696	. . . . 5 ⊢ (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩
6		00sr 5188	. . . . . . . . 9 ⊢ (0R ∈ R → (0R ·R 0R) = 0R)
7	1, 6	ax-mp 7	. . . . . . . 8 ⊢ (0R ·R 0R) = 0R
8		1idsr 5187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1R ∈ R → (1R ·R 1R) = 1R)
9	2, 8	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1R ·R 1R) = 1R
10	9	opreq2i 3963	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1R ·R (1R ·R 1R)) = (-1R ·R 1R)
11		m1r 5171	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1R ∈ R
12		1idsr 5187	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1R ∈ R → (-1R ·R 1R) = -1R)
13	11, 12	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1R ·R 1R) = -1R
14	10, 13	eqtr 1492	. . . . . . . 8 ⊢ (-1R ·R (1R ·R 1R)) = -1R
15	7, 14	opreq12i 3964	. . . . . . 7 ⊢ ((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))) = (0R +R -1R)
16	1	elisseti 1814	. . . . . . . 8 ⊢ 0R ∈ V
17	11	elisseti 1814	. . . . . . . 8 ⊢ -1R ∈ V
18	16, 17	addcomsr 5176	. . . . . . 7 ⊢ (0R +R -1R) = (-1R +R 0R)
19		0idsr 5186	. . . . . . . 8 ⊢ (-1R ∈ R → (-1R +R 0R) = -1R)
20	11, 19	ax-mp 7	. . . . . . 7 ⊢ (-1R +R 0R) = -1R
21	15, 18, 20	3eqtr 1496	. . . . . 6 ⊢ ((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))) = -1R
22		00sr 5188	. . . . . . . . 9 ⊢ (1R ∈ R → (1R ·R 0R) = 0R)
23	2, 22	ax-mp 7	. . . . . . . 8 ⊢ (1R ·R 0R) = 0R
24		1idsr 5187	. . . . . . . . 9 ⊢ (0R ∈ R → (0R ·R 1R) = 0R)
25	1, 24	ax-mp 7	. . . . . . . 8 ⊢ (0R ·R 1R) = 0R
26	23, 25	opreq12i 3964	. . . . . . 7 ⊢ ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R)) = (0R +R 0R)
27		0idsr 5186	. . . . . . . 8 ⊢ (0R ∈ R → (0R +R 0R) = 0R)
28	1, 27	ax-mp 7	. . . . . . 7 ⊢ (0R +R 0R) = 0R
29	26, 28	eqtr 1492	. . . . . 6 ⊢ ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R)) = 0R
30	21, 29	opeq12i 2488	. . . . 5 ⊢ ⟨((0R ·R 0R) +R (-1R ·R (1R ·R 1R))), ((1R ·R 0R) +R (0R ·R 1R))⟩ = ⟨-1R, 0R⟩
31	5, 30	eqtr 1492	. . . 4 ⊢ (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) = ⟨-1R, 0R⟩
32	31	opreq1i 3962	. . 3 ⊢ ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩) = (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩)
33		addresr 5236	. . . 4 ⊢ ((-1R ∈ R ⋀ 1R ∈ R) → (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩)
34	11, 2, 33	mp2an 696	. . 3 ⊢ (⟨-1R, 0R⟩ + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩
35		m1p1sr 5181	. . . 4 ⊢ (-1R +R 1R) = 0R
36	35	opeq1i 2486	. . 3 ⊢ ⟨(-1R +R 1R), 0R⟩ = ⟨0R, 0R⟩
37	32, 34, 36	3eqtr 1496	. 2 ⊢ ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩) = ⟨0R, 0R⟩
38		df-i 5223	. . . 4 ⊢ i = ⟨0R, 1R⟩
39	38, 38	opreq12i 3964	. . 3 ⊢ (i · i) = (⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩)
40		df-1 5222	. . 3 ⊢ 1 = ⟨1R, 0R⟩
41	39, 40	opreq12i 3964	. 2 ⊢ ((i · i) + 1) = ((⟨0R, 1R⟩ · ⟨0R, 1R⟩) + ⟨1R, 0R⟩)
42		df-0 5221	. 2 ⊢ 0 = ⟨0R, 0R⟩
43	37, 41, 42	3eqtr4 1502	1 ⊢ ((i · i) + 1) = 0

Syntax hints:   ⋀ wa 223   = wceq 954   ∈ wcel 956  ⟨cop 2407  (class class class)co 3954  Rcnr 4973  0_Rc0r 4974  1_Rc1r 4975  -1_Rcm1r 4976   +_R cplr 4977   ·_R cmr 4978  0cc0 5214  1c1 5215  ici 5216   + caddc 5217   · cmul 5219

This theorem is referenced by:  0cn 5308  ine0 5414  ixi 5662  inelr 6673

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-plus 5225  df-mul 5226

Copyright terms: Public domain