Theorem bj-isrvec 34578

Description: The predicate "is a real vector space". (Contributed by BJ, 6-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
bj-isrvec	⊢ (𝑉 ∈ ℝ-Vec ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑉) = ℝfld))

Proof of Theorem bj-isrvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bj-rvec 34577	. . 3 ⊢ ℝ-Vec = (LMod ∩ (◡Scalar “ {ℝfld}))
2	1	elin2 4174	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ ℝ-Vec ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ (◡Scalar “ {ℝfld})))
3		bj-evalfun 34367	. . . . . 6 ⊢ Fun Slot 5
4		df-sca 16581	. . . . . . 7 ⊢ Scalar = Slot 5
5	4	funeqi 6376	. . . . . 6 ⊢ (Fun Scalar ↔ Fun Slot 5)
6	3, 5	mpbir 233	. . . . 5 ⊢ Fun Scalar
7		0re 10643	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
8	7	n0ii 4302	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ℝ = ∅
9		eqcom 2828	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ = ℝ ↔ ℝ = ∅)
10	8, 9	mtbir 325	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ∅ = ℝ
11		fveq2 6670	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ = ℝfld → (Base‘∅) = (Base‘ℝfld))
12		base0 16536	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
13		rebase 20750	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
14	11, 12, 13	3eqtr4g 2881	. . . . . . 7 ⊢ (∅ = ℝfld → ∅ = ℝ)
15	10, 14	mto 199	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∅ = ℝfld
16		elsni 4584	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ {ℝfld} → ∅ = ℝfld)
17	15, 16	mto 199	. . . . 5 ⊢ ¬ ∅ ∈ {ℝfld}
18		bj-fvimacnv0 34571	. . . . 5 ⊢ ((Fun Scalar ∧ ¬ ∅ ∈ {ℝfld}) → ((Scalar‘𝑉) ∈ {ℝfld} ↔ 𝑉 ∈ (◡Scalar “ {ℝfld})))
19	6, 17, 18	mp2an 690	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑉) ∈ {ℝfld} ↔ 𝑉 ∈ (◡Scalar “ {ℝfld}))
20		fvex 6683	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑉) ∈ V
21	20	elsn 4582	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑉) ∈ {ℝfld} ↔ (Scalar‘𝑉) = ℝfld)
22	19, 21	bitr3i 279	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ (◡Scalar “ {ℝfld}) ↔ (Scalar‘𝑉) = ℝfld)
23	22	anbi2i 624	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ LMod ∧ 𝑉 ∈ (◡Scalar “ {ℝfld})) ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑉) = ℝfld))
24	2, 23	bitri 277	1 ⊢ (𝑉 ∈ ℝ-Vec ↔ (𝑉 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑉) = ℝfld))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∅c0 4291  {csn 4567  ^◡ccnv 5554   “ cima 5558  Fun wfun 6349  ‘cfv 6355  ℝcr 10536  0cc0 10537  5c5 11696  Slot cslot 16482  Basecbs 16483  Scalarcsca 16568  LModclmod 19634  ℝ_fldcrefld 20748  ℝ-Veccrrvec 34576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-fz 12894  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-cnfld 20546  df-refld 20749  df-bj-rvec 34577

This theorem is referenced by:  bj-rvecmod  34579  bj-rvecrr  34581  bj-isrvecd  34582