Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragendifcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragendifcl 39201
Description: The Caratheodory's construction is closed under the complement operation. Second part of Step (b) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 19. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragendifcl.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
caragendifcl.s 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
caragendifcl.e (𝜑𝐸𝑆)
Assertion
Ref Expression
caragendifcl (𝜑 → ( 𝑆𝐸) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem caragendifcl
Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caragendifcl.o . 2 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
2 eqid 2609 . 2 dom 𝑂 = dom 𝑂
3 caragendifcl.s . 2 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
43caragenss 39191 . . . . . 6 (𝑂 ∈ OutMeas → 𝑆 ⊆ dom 𝑂)
51, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ dom 𝑂)
65unissd 4392 . . . 4 (𝜑 𝑆 dom 𝑂)
76ssdifssd 3709 . . 3 (𝜑 → ( 𝑆𝐸) ⊆ dom 𝑂)
8 fvex 6098 . . . . . . . 8 (CaraGen‘𝑂) ∈ V
93, 8eqeltri 2683 . . . . . . 7 𝑆 ∈ V
109uniex 6828 . . . . . 6 𝑆 ∈ V
11 difexg 4730 . . . . . 6 ( 𝑆 ∈ V → ( 𝑆𝐸) ∈ V)
1210, 11ax-mp 5 . . . . 5 ( 𝑆𝐸) ∈ V
1312a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ( 𝑆𝐸) ∈ V)
14 elpwg 4115 . . . 4 (( 𝑆𝐸) ∈ V → (( 𝑆𝐸) ∈ 𝒫 dom 𝑂 ↔ ( 𝑆𝐸) ⊆ dom 𝑂))
1513, 14syl 17 . . 3 (𝜑 → (( 𝑆𝐸) ∈ 𝒫 dom 𝑂 ↔ ( 𝑆𝐸) ⊆ dom 𝑂))
167, 15mpbird 245 . 2 (𝜑 → ( 𝑆𝐸) ∈ 𝒫 dom 𝑂)
17 elpwi 4116 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂𝑎 dom 𝑂)
1817adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝑎 dom 𝑂)
191, 3caragenuni 39198 . . . . . . . . . 10 (𝜑 𝑆 = dom 𝑂)
2019eqcomd 2615 . . . . . . . . 9 (𝜑 dom 𝑂 = 𝑆)
2120adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → dom 𝑂 = 𝑆)
2218, 21sseqtrd 3603 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝑎 𝑆)
23 difin2 3848 . . . . . . 7 (𝑎 𝑆 → (𝑎𝐸) = (( 𝑆𝐸) ∩ 𝑎))
2422, 23syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑎𝐸) = (( 𝑆𝐸) ∩ 𝑎))
25 incom 3766 . . . . . . 7 (( 𝑆𝐸) ∩ 𝑎) = (𝑎 ∩ ( 𝑆𝐸))
2625a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (( 𝑆𝐸) ∩ 𝑎) = (𝑎 ∩ ( 𝑆𝐸)))
2724, 26eqtr2d 2644 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑎 ∩ ( 𝑆𝐸)) = (𝑎𝐸))
2827fveq2d 6092 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑂‘(𝑎 ∩ ( 𝑆𝐸))) = (𝑂‘(𝑎𝐸)))
2922ssdifd 3707 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑎𝐸) ⊆ ( 𝑆𝐸))
30 sscon 3705 . . . . . . . 8 ((𝑎𝐸) ⊆ ( 𝑆𝐸) → (𝑎 ∖ ( 𝑆𝐸)) ⊆ (𝑎 ∖ (𝑎𝐸)))
3129, 30syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑎 ∖ ( 𝑆𝐸)) ⊆ (𝑎 ∖ (𝑎𝐸)))
32 dfin4 3825 . . . . . . . . 9 (𝑎𝐸) = (𝑎 ∖ (𝑎𝐸))
3332a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑎𝐸) = (𝑎 ∖ (𝑎𝐸)))
34 eqimss2 3620 . . . . . . . 8 ((𝑎𝐸) = (𝑎 ∖ (𝑎𝐸)) → (𝑎 ∖ (𝑎𝐸)) ⊆ (𝑎𝐸))
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑎 ∖ (𝑎𝐸)) ⊆ (𝑎𝐸))
3631, 35sstrd 3577 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑎 ∖ ( 𝑆𝐸)) ⊆ (𝑎𝐸))
37 elinel1 3760 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑎𝐸) → 𝑥𝑎)
38 elinel2 3761 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝑎𝐸) → 𝑥𝐸)
39 elndif 3695 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐸 → ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑆𝐸))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝑎𝐸) → ¬ 𝑥 ∈ ( 𝑆𝐸))
4137, 40eldifd 3550 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑎𝐸) → 𝑥 ∈ (𝑎 ∖ ( 𝑆𝐸)))
4241ssriv 3571 . . . . . . 7 (𝑎𝐸) ⊆ (𝑎 ∖ ( 𝑆𝐸))
4342a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑎𝐸) ⊆ (𝑎 ∖ ( 𝑆𝐸)))
4436, 43eqssd 3584 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑎 ∖ ( 𝑆𝐸)) = (𝑎𝐸))
4544fveq2d 6092 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑂‘(𝑎 ∖ ( 𝑆𝐸))) = (𝑂‘(𝑎𝐸)))
4628, 45oveq12d 6545 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ( 𝑆𝐸))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ( 𝑆𝐸)))) = ((𝑂‘(𝑎𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))))
47 iccssxr 12083 . . . . 5 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
481adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → 𝑂 ∈ OutMeas)
4918ssdifssd 3709 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑎𝐸) ⊆ dom 𝑂)
5048, 2, 49omecl 39190 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑂‘(𝑎𝐸)) ∈ (0[,]+∞))
5147, 50sseldi 3565 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑂‘(𝑎𝐸)) ∈ ℝ*)
52 ssinss1 3802 . . . . . . . 8 (𝑎 dom 𝑂 → (𝑎𝐸) ⊆ dom 𝑂)
5317, 52syl 17 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂 → (𝑎𝐸) ⊆ dom 𝑂)
5453adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑎𝐸) ⊆ dom 𝑂)
5548, 2, 54omecl 39190 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑂‘(𝑎𝐸)) ∈ (0[,]+∞))
5647, 55sseldi 3565 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → (𝑂‘(𝑎𝐸)) ∈ ℝ*)
5751, 56xaddcomd 38278 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))) = ((𝑂‘(𝑎𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))))
58 caragendifcl.e . . . . . 6 (𝜑𝐸𝑆)
591, 3caragenel 39182 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸𝑆 ↔ (𝐸 ∈ 𝒫 dom 𝑂 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂((𝑂‘(𝑎𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))) = (𝑂𝑎))))
6058, 59mpbid 220 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝒫 dom 𝑂 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂((𝑂‘(𝑎𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))) = (𝑂𝑎)))
6160simprd 477 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂((𝑂‘(𝑎𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))) = (𝑂𝑎))
6261r19.21bi 2915 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝑎𝐸))) = (𝑂𝑎))
6346, 57, 623eqtrd 2647 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 dom 𝑂) → ((𝑂‘(𝑎 ∩ ( 𝑆𝐸))) +𝑒 (𝑂‘(𝑎 ∖ ( 𝑆𝐸)))) = (𝑂𝑎))
641, 2, 3, 16, 63carageneld 39189 1 (𝜑 → ( 𝑆𝐸) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  Vcvv 3172  cdif 3536  cin 3538  wss 3539  𝒫 cpw 4107   cuni 4366  dom cdm 5028  cfv 5790  (class class class)co 6527  0cc0 9792  +∞cpnf 9927  *cxr 9929   +𝑒 cxad 11776  [,]cicc 12005  OutMeascome 39176  CaraGenccaragen 39178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-xadd 11779  df-icc 12009  df-ome 39177  df-caragen 39179
This theorem is referenced by:  caragensal  39212
  Copyright terms: Public domain W3C validator