Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemj3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemj3 34925
Description: Part of proof of Lemma J of [Crawley] p. 118. Eliminate 𝑔. (Contributed by NM, 20-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemj.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemj.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemj.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemj.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemj.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemj3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈) = (𝑉))

Proof of Theorem cdlemj3
Dummy variables 𝑔 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1056 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 eqid 2609 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 eqid 2609 . . . 4 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
4 cdlemj.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
52, 3, 4lhpexle2 34110 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ∃𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑢(le‘𝐾)𝑊𝑢 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅)))
61, 5syl 17 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → ∃𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾)(𝑢(le‘𝐾)𝑊𝑢 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅)))
7 simpl1l 1104 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝐾 ∈ HL)
87adantr 479 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊𝑢 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅)))) → 𝐾 ∈ HL)
9 simpl1r 1105 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → 𝑊𝐻)
109adantr 479 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊𝑢 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅)))) → 𝑊𝐻)
11 simprl 789 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊𝑢 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅)))) → 𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾))
12 simprr1 1101 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊𝑢 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅)))) → 𝑢(le‘𝐾)𝑊)
13 cdlemj.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
14 cdlemj.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
15 cdlemj.r . . . . 5 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
1613, 2, 3, 4, 14, 15cdlemfnid 34666 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑢(le‘𝐾)𝑊)) → ∃𝑔𝑇 ((𝑅𝑔) = 𝑢𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
178, 10, 11, 12, 16syl22anc 1318 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊𝑢 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅)))) → ∃𝑔𝑇 ((𝑅𝑔) = 𝑢𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
18 simp1l 1077 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊𝑢 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅))) ∧ (𝑔𝑇 ∧ ((𝑅𝑔) = 𝑢𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)))
19 simp1r 1078 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊𝑢 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅))) ∧ (𝑔𝑇 ∧ ((𝑅𝑔) = 𝑢𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → ≠ ( I ↾ 𝐵))
20 simp3l 1081 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊𝑢 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅))) ∧ (𝑔𝑇 ∧ ((𝑅𝑔) = 𝑢𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑔𝑇)
21 simp3rr 1127 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊𝑢 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅))) ∧ (𝑔𝑇 ∧ ((𝑅𝑔) = 𝑢𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))
22 simp2r2 1156 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊𝑢 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅))) ∧ (𝑔𝑇 ∧ ((𝑅𝑔) = 𝑢𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑢 ≠ (𝑅𝐹))
2322necomd 2836 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊𝑢 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅))) ∧ (𝑔𝑇 ∧ ((𝑅𝑔) = 𝑢𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅𝐹) ≠ 𝑢)
24 simp3rl 1126 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊𝑢 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅))) ∧ (𝑔𝑇 ∧ ((𝑅𝑔) = 𝑢𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅𝑔) = 𝑢)
2523, 24neeqtrrd 2855 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊𝑢 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅))) ∧ (𝑔𝑇 ∧ ((𝑅𝑔) = 𝑢𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔))
26 simp2r3 1157 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊𝑢 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅))) ∧ (𝑔𝑇 ∧ ((𝑅𝑔) = 𝑢𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → 𝑢 ≠ (𝑅))
2724, 26eqnetrd 2848 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊𝑢 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅))) ∧ (𝑔𝑇 ∧ ((𝑅𝑔) = 𝑢𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑅𝑔) ≠ (𝑅))
28 cdlemj.e . . . . . . . 8 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
2913, 4, 14, 15, 28cdlemj2 34924 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ( ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝑔) ∧ (𝑅𝑔) ≠ (𝑅))) → (𝑈) = (𝑉))
3018, 19, 20, 21, 25, 27, 29syl132anc 1335 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊𝑢 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅))) ∧ (𝑔𝑇 ∧ ((𝑅𝑔) = 𝑢𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)))) → (𝑈) = (𝑉))
31303expia 1258 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊𝑢 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅)))) → ((𝑔𝑇 ∧ ((𝑅𝑔) = 𝑢𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵))) → (𝑈) = (𝑉)))
3231expd 450 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊𝑢 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅)))) → (𝑔𝑇 → (((𝑅𝑔) = 𝑢𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈) = (𝑉))))
3332rexlimdv 3011 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊𝑢 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅)))) → (∃𝑔𝑇 ((𝑅𝑔) = 𝑢𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈) = (𝑉)))
3417, 33mpd 15 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝑢 ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑢(le‘𝐾)𝑊𝑢 ≠ (𝑅𝐹) ∧ 𝑢 ≠ (𝑅)))) → (𝑈) = (𝑉))
356, 34rexlimddv 3016 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑈𝐸𝑉𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = (𝑉𝐹)) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ 𝑇)) ∧ ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑈) = (𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wrex 2896   class class class wbr 4577   I cid 4938  cres 5030  cfv 5790  Basecbs 15641  lecple 15721  Atomscatm 33364  HLchlt 33451  LHypclh 34084  LTrncltrn 34201  trLctrl 34259  TEndoctendo 34854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-riotaBAD 33053
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-undef 7263  df-map 7723  df-preset 16697  df-poset 16715  df-plt 16727  df-lub 16743  df-glb 16744  df-join 16745  df-meet 16746  df-p0 16808  df-p1 16809  df-lat 16815  df-clat 16877  df-oposet 33277  df-ol 33279  df-oml 33280  df-covers 33367  df-ats 33368  df-atl 33399  df-cvlat 33423  df-hlat 33452  df-llines 33598  df-lplanes 33599  df-lvols 33600  df-lines 33601  df-psubsp 33603  df-pmap 33604  df-padd 33896  df-lhyp 34088  df-laut 34089  df-ldil 34204  df-ltrn 34205  df-trl 34260  df-tendo 34857
This theorem is referenced by:  tendocan  34926
  Copyright terms: Public domain W3C validator