Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  clwlkl1loop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwlkl1loop 40981
Description: A closed walk of length 1 is a loop. (Contributed by AV, 22-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
clwlkl1loop ((Fun (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐹(ClWalkS‘𝐺)𝑃 ∧ (#‘𝐹) = 1) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘1) ∧ {(𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))

Proof of Theorem clwlkl1loop
StepHypRef Expression
1 isclWlkb 40972 . . 3 (𝐹(ClWalkS‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))))
2 fveq2 6088 . . . . . . 7 ((#‘𝐹) = 1 → (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘1))
32eqeq2d 2620 . . . . . 6 ((#‘𝐹) = 1 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)))
43anbi2d 736 . . . . 5 ((#‘𝐹) = 1 → ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) ↔ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1))))
5 simp2r 1081 . . . . . . 7 (((#‘𝐹) = 1 ∧ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)) ∧ Fun (iEdg‘𝐺)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘1))
6 simp3 1056 . . . . . . . 8 (((#‘𝐹) = 1 ∧ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)) ∧ Fun (iEdg‘𝐺)) → Fun (iEdg‘𝐺))
7 simp2l 1080 . . . . . . . 8 (((#‘𝐹) = 1 ∧ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)) ∧ Fun (iEdg‘𝐺)) → 𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)
8 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)) → (𝑃‘0) = (𝑃‘1))
98anim2i 591 . . . . . . . . 9 (((#‘𝐹) = 1 ∧ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1))) → ((#‘𝐹) = 1 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)))
1093adant3 1074 . . . . . . . 8 (((#‘𝐹) = 1 ∧ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)) ∧ Fun (iEdg‘𝐺)) → ((#‘𝐹) = 1 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)))
11 1wlkl1loop 40834 . . . . . . . 8 (((Fun (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃) ∧ ((#‘𝐹) = 1 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1))) → {(𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
126, 7, 10, 11syl21anc 1317 . . . . . . 7 (((#‘𝐹) = 1 ∧ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)) ∧ Fun (iEdg‘𝐺)) → {(𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
135, 12jca 553 . . . . . 6 (((#‘𝐹) = 1 ∧ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)) ∧ Fun (iEdg‘𝐺)) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘1) ∧ {(𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
14133exp 1256 . . . . 5 ((#‘𝐹) = 1 → ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘1)) → (Fun (iEdg‘𝐺) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘1) ∧ {(𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
154, 14sylbid 229 . . . 4 ((#‘𝐹) = 1 → ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (Fun (iEdg‘𝐺) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘1) ∧ {(𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
1615com13 86 . . 3 (Fun (iEdg‘𝐺) → ((𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → ((#‘𝐹) = 1 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘1) ∧ {(𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
171, 16syl5bi 231 . 2 (Fun (iEdg‘𝐺) → (𝐹(ClWalkS‘𝐺)𝑃 → ((#‘𝐹) = 1 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘1) ∧ {(𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
18173imp 1249 1 ((Fun (iEdg‘𝐺) ∧ 𝐹(ClWalkS‘𝐺)𝑃 ∧ (#‘𝐹) = 1) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘1) ∧ {(𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  {csn 4125   class class class wbr 4578  Fun wfun 5784  cfv 5790  0cc0 9793  1c1 9794  #chash 12937  iEdgciedg 40222  Edgcedga 40343  1Walksc1wlks 40788  ClWalkScclwlks 40968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-card 8626  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-hash 12938  df-word 13103  df-edga 40344  df-1wlks 40792  df-clwlks 40969
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator