Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cusgrsizeindb0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cusgrsizeindb0 26339
 Description: Base case of the induction in cusgrsize 26344. The size of a complete simple graph with 0 vertices, actually of every null graph, is 0=((0-1)*0)/2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Jan-2018.) (Revised by AV, 7-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cusgrsizeindb0.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cusgrsizeindb0.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
cusgrsizeindb0 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (#‘𝑉) = 0) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))

Proof of Theorem cusgrsizeindb0
StepHypRef Expression
1 cusgrsizeindb0.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 cusgrsizeindb0.e . . 3 𝐸 = (Edg‘𝐺)
31, 2uhgr0vsize0 26125 . 2 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (#‘𝑉) = 0) → (#‘𝐸) = 0)
4 oveq1 6654 . . . 4 ((#‘𝑉) = 0 → ((#‘𝑉)C2) = (0C2))
5 2nn 11182 . . . . 5 2 ∈ ℕ
6 bc0k 13093 . . . . 5 (2 ∈ ℕ → (0C2) = 0)
75, 6ax-mp 5 . . . 4 (0C2) = 0
84, 7syl6req 2672 . . 3 ((#‘𝑉) = 0 → 0 = ((#‘𝑉)C2))
98adantl 482 . 2 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (#‘𝑉) = 0) → 0 = ((#‘𝑉)C2))
103, 9eqtrd 2655 1 ((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (#‘𝑉) = 0) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1482   ∈ wcel 1989  ‘cfv 5886  (class class class)co 6647  0cc0 9933  ℕcn 11017  2c2 11067  Ccbc 13084  #chash 13112  Vtxcvtx 25868  Edgcedg 25933   UHGraph cuhgr 25945 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-card 8762  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-2 11076  df-n0 11290  df-z 11375  df-uz 11685  df-fz 12324  df-bc 13085  df-hash 13113  df-edg 25934  df-uhgr 25947 This theorem is referenced by:  cusgrsize  26344
 Copyright terms: Public domain W3C validator