Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cycsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycsubg 17616
 Description: The cyclic group generated by 𝐴 is the smallest subgroup containing 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cycsubg.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
cycsubg.t · = (.g𝐺)
cycsubg.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
Assertion
Ref Expression
cycsubg ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ran 𝐹 = {𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴𝑠})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑠,𝐴   𝐺,𝑠,𝑥   𝑥, ·   𝑥,𝑋   𝐹,𝑠
Allowed substitution hints:   · (𝑠)   𝐹(𝑥)   𝑋(𝑠)

Proof of Theorem cycsubg
StepHypRef Expression
1 ssintab 4492 . . . . 5 (ran 𝐹 {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠)} ↔ ∀𝑠((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ran 𝐹𝑠))
2 cycsubg.x . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 cycsubg.t . . . . . 6 · = (.g𝐺)
4 cycsubg.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
52, 3, 4cycsubgss 17615 . . . . 5 ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠) → ran 𝐹𝑠)
61, 5mpgbir 1725 . . . 4 ran 𝐹 {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠)}
7 df-rab 2920 . . . . 5 {𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴𝑠} = {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠)}
87inteqi 4477 . . . 4 {𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴𝑠} = {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴𝑠)}
96, 8sseqtr4i 3636 . . 3 ran 𝐹 {𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴𝑠}
109a1i 11 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ran 𝐹 {𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴𝑠})
112, 3, 4cycsubgcl 17614 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (ran 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐹))
12 eleq2 2689 . . . . 5 (𝑠 = ran 𝐹 → (𝐴𝑠𝐴 ∈ ran 𝐹))
1312elrab 3361 . . . 4 (ran 𝐹 ∈ {𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴𝑠} ↔ (ran 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ ran 𝐹))
1411, 13sylibr 224 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ran 𝐹 ∈ {𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴𝑠})
15 intss1 4490 . . 3 (ran 𝐹 ∈ {𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴𝑠} → {𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴𝑠} ⊆ ran 𝐹)
1614, 15syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → {𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴𝑠} ⊆ ran 𝐹)
1710, 16eqssd 3618 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ran 𝐹 = {𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴𝑠})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1482   ∈ wcel 1989  {cab 2607  {crab 2915   ⊆ wss 3572  ∩ cint 4473   ↦ cmpt 4727  ran crn 5113  ‘cfv 5886  (class class class)co 6647  ℤcz 11374  Basecbs 15851  Grpcgrp 17416  .gcmg 17534  SubGrpcsubg 17582 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-inf2 8535  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-2 11076  df-n0 11290  df-z 11375  df-uz 11685  df-fz 12324  df-seq 12797  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-sets 15858  df-ress 15859  df-plusg 15948  df-0g 16096  df-mgm 17236  df-sgrp 17278  df-mnd 17289  df-grp 17419  df-minusg 17420  df-mulg 17535  df-subg 17585 This theorem is referenced by:  cycsubg2  17625
 Copyright terms: Public domain W3C validator