Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem22 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalem22 33782
Description: Lemma for dath 33823. Show that lines 𝑐𝑑 and 𝑃𝑆 determine a plane. (Contributed by NM, 2-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalem.ph (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆)) ∧ (𝐶 (𝑃 𝑆) ∧ 𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈)))))
dalem.l = (le‘𝐾)
dalem.j = (join‘𝐾)
dalem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalem.ps (𝜓 ↔ ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ ¬ 𝑐 𝑌 ∧ (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 (𝑐 𝑑))))
dalem22.o 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
dalem22.y 𝑌 = ((𝑃 𝑄) 𝑅)
dalem22.z 𝑍 = ((𝑆 𝑇) 𝑈)
Assertion
Ref Expression
dalem22 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → ((𝑐 𝑑) (𝑃 𝑆)) ∈ 𝑂)

Proof of Theorem dalem22
StepHypRef Expression
1 dalem.ph . . 3 (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆)) ∧ (𝐶 (𝑃 𝑆) ∧ 𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈)))))
2 dalem.l . . 3 = (le‘𝐾)
3 dalem.j . . 3 = (join‘𝐾)
4 dalem.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 dalem.ps . . 3 (𝜓 ↔ ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ ¬ 𝑐 𝑌 ∧ (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 (𝑐 𝑑))))
6 eqid 2609 . . 3 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
7 dalem22.o . . 3 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
8 dalem22.y . . 3 𝑌 = ((𝑃 𝑄) 𝑅)
9 dalem22.z . . 3 𝑍 = ((𝑆 𝑇) 𝑈)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9dalem21 33781 . 2 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → ((𝑐 𝑑)(meet‘𝐾)(𝑃 𝑆)) ∈ 𝐴)
111dalemkehl 33710 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ HL)
1211adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 𝐾 ∈ HL)
131, 2, 3, 4, 5dalemcjden 33779 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝑐 𝑑) ∈ (LLines‘𝐾))
141, 2, 3, 4, 7, 8dalempjsen 33740 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
1514adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝜓) → (𝑃 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
16 eqid 2609 . . . . 5 (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
173, 6, 4, 16, 72llnmj 33647 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑐 𝑑) ∈ (LLines‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾)) → (((𝑐 𝑑)(meet‘𝐾)(𝑃 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑐 𝑑) (𝑃 𝑆)) ∈ 𝑂))
1812, 13, 15, 17syl3anc 1317 . . 3 ((𝜑𝜓) → (((𝑐 𝑑)(meet‘𝐾)(𝑃 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑐 𝑑) (𝑃 𝑆)) ∈ 𝑂))
19183adant2 1072 . 2 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → (((𝑐 𝑑)(meet‘𝐾)(𝑃 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑐 𝑑) (𝑃 𝑆)) ∈ 𝑂))
2010, 19mpbid 220 1 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → ((𝑐 𝑑) (𝑃 𝑆)) ∈ 𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779   class class class wbr 4577  cfv 5789  (class class class)co 6526  Basecbs 15643  lecple 15723  joincjn 16715  meetcmee 16716  Atomscatm 33351  HLchlt 33438  LLinesclln 33578  LPlanesclpl 33579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4942  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-preset 16699  df-poset 16717  df-plt 16729  df-lub 16745  df-glb 16746  df-join 16747  df-meet 16748  df-p0 16810  df-lat 16817  df-clat 16879  df-oposet 33264  df-ol 33266  df-oml 33267  df-covers 33354  df-ats 33355  df-atl 33386  df-cvlat 33410  df-hlat 33439  df-llines 33585  df-lplanes 33586
This theorem is referenced by:  dalem23  33783
  Copyright terms: Public domain W3C validator