MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  difinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem difinf 8397
Description: An infinite set 𝐴 minus a finite set is infinite. (Contributed by FL, 3-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
difinf ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ (𝐴𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem difinf
StepHypRef Expression
1 unfi 8394 . . . . 5 (((𝐴𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((𝐴𝐵) ∪ 𝐵) ∈ Fin)
2 undif1 4187 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∪ 𝐵) = (𝐴𝐵)
32eleq1i 2830 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) ∪ 𝐵) ∈ Fin ↔ (𝐴𝐵) ∈ Fin)
4 unfir 8395 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ∈ Fin → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin))
54simpld 477 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
63, 5sylbi 207 . . . . 5 (((𝐴𝐵) ∪ 𝐵) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
71, 6syl 17 . . . 4 (((𝐴𝐵) ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
87expcom 450 . . 3 (𝐵 ∈ Fin → ((𝐴𝐵) ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin))
98con3d 148 . 2 (𝐵 ∈ Fin → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ¬ (𝐴𝐵) ∈ Fin))
109impcom 445 1 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ¬ (𝐴𝐵) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  wcel 2139  cdif 3712  cun 3713  Fincfn 8123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-fin 8127
This theorem is referenced by:  ackbij1lem18  9271  bitsf1  15390  cusgrfilem3  26584  hasheuni  30477  topdifinffinlem  33524  eldioph2lem2  37844
  Copyright terms: Public domain W3C validator