MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cusgrfilem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cusgrfilem3 26240
Description: Lemma 3 for cusgrfi 26241. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Jan-2018.) (Revised by AV, 11-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cusgrfi.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cusgrfi.p 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉 (𝑎𝑁𝑥 = {𝑎, 𝑁})}
cusgrfi.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↦ {𝑥, 𝑁})
Assertion
Ref Expression
cusgrfilem3 (𝑁𝑉 → (𝑉 ∈ Fin ↔ 𝑃 ∈ Fin))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑁,𝑎,𝑥   𝑉,𝑎,𝑥   𝑥,𝑃
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑎)   𝐹(𝑥,𝑎)   𝐺(𝑎)

Proof of Theorem cusgrfilem3
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 diffi 8136 . . 3 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin)
2 simpr 477 . . . . . 6 ((𝑁𝑉 ∧ ¬ 𝑉 ∈ Fin) → ¬ 𝑉 ∈ Fin)
3 snfi 7982 . . . . . 6 {𝑁} ∈ Fin
4 difinf 8174 . . . . . 6 ((¬ 𝑉 ∈ Fin ∧ {𝑁} ∈ Fin) → ¬ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin)
52, 3, 4sylancl 693 . . . . 5 ((𝑁𝑉 ∧ ¬ 𝑉 ∈ Fin) → ¬ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin)
65ex 450 . . . 4 (𝑁𝑉 → (¬ 𝑉 ∈ Fin → ¬ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin))
76con4d 114 . . 3 (𝑁𝑉 → ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin → 𝑉 ∈ Fin))
81, 7impbid2 216 . 2 (𝑁𝑉 → (𝑉 ∈ Fin ↔ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin))
9 cusgrfi.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↦ {𝑥, 𝑁})
10 cusgrfi.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
11 fvex 6158 . . . . . . . . 9 (Vtx‘𝐺) ∈ V
1210, 11eqeltri 2694 . . . . . . . 8 𝑉 ∈ V
13 difexg 4768 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V
15 mptexg 6438 . . . . . . 7 ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V → (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↦ {𝑥, 𝑁}) ∈ V)
1614, 15mp1i 13 . . . . . 6 (𝑁𝑉 → (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↦ {𝑥, 𝑁}) ∈ V)
179, 16syl5eqel 2702 . . . . 5 (𝑁𝑉𝐹 ∈ V)
18 cusgrfi.p . . . . . 6 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ ∃𝑎𝑉 (𝑎𝑁𝑥 = {𝑎, 𝑁})}
1910, 18, 9cusgrfilem2 26239 . . . . 5 (𝑁𝑉𝐹:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto𝑃)
20 f1oeq1 6084 . . . . . 6 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto𝑃𝐹:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto𝑃))
2120spcegv 3280 . . . . 5 (𝐹 ∈ V → (𝐹:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto𝑃 → ∃𝑓 𝑓:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto𝑃))
2217, 19, 21sylc 65 . . . 4 (𝑁𝑉 → ∃𝑓 𝑓:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto𝑃)
23 bren 7908 . . . 4 ((𝑉 ∖ {𝑁}) ≈ 𝑃 ↔ ∃𝑓 𝑓:(𝑉 ∖ {𝑁})–1-1-onto𝑃)
2422, 23sylibr 224 . . 3 (𝑁𝑉 → (𝑉 ∖ {𝑁}) ≈ 𝑃)
25 enfi 8120 . . 3 ((𝑉 ∖ {𝑁}) ≈ 𝑃 → ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin ↔ 𝑃 ∈ Fin))
2624, 25syl 17 . 2 (𝑁𝑉 → ((𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin ↔ 𝑃 ∈ Fin))
278, 26bitrd 268 1 (𝑁𝑉 → (𝑉 ∈ Fin ↔ 𝑃 ∈ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908  {crab 2911  Vcvv 3186  cdif 3552  𝒫 cpw 4130  {csn 4148  {cpr 4150   class class class wbr 4613  cmpt 4673  1-1-ontowf1o 5846  cfv 5847  cen 7896  Fincfn 7899  Vtxcvtx 25774
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-fin 7903
This theorem is referenced by:  cusgrfi  26241
  Copyright terms: Public domain W3C validator