Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hasheuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hasheuni 30275
Description: The cardinality of a disjoint union, not necessarily finite. cf. hashuni 14602. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Nov-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 20-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
hasheuni ((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) → (#‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(#‘𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉

Proof of Theorem hasheuni
StepHypRef Expression
1 nfdisj1 4665 . . . . . . . 8 𝑥Disj 𝑥𝐴 𝑥
2 nfv 1883 . . . . . . . 8 𝑥 𝐴 ∈ Fin
3 nfv 1883 . . . . . . . 8 𝑥 𝐴 ⊆ Fin
41, 2, 3nf3an 1871 . . . . . . 7 𝑥(Disj 𝑥𝐴 𝑥𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin)
5 simp2 1082 . . . . . . 7 ((Disj 𝑥𝐴 𝑥𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
6 simp3 1083 . . . . . . 7 ((Disj 𝑥𝐴 𝑥𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ⊆ Fin)
7 simp1 1081 . . . . . . 7 ((Disj 𝑥𝐴 𝑥𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Disj 𝑥𝐴 𝑥)
84, 5, 6, 7hashunif 29690 . . . . . 6 ((Disj 𝑥𝐴 𝑥𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (#‘ 𝐴) = Σ𝑥𝐴 (#‘𝑥))
9 simpl 472 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
10 dfss3 3625 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ⊆ Fin ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ Fin)
11 hashcl 13185 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ Fin → (#‘𝑥) ∈ ℕ0)
12 nn0re 11339 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑥) ∈ ℕ0 → (#‘𝑥) ∈ ℝ)
13 nn0ge0 11356 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑥) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (#‘𝑥))
14 elrege0 12316 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((#‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (#‘𝑥)))
1512, 13, 14sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑥) ∈ ℕ0 → (#‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
1611, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ Fin → (#‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
1716ralimi 2981 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ Fin → ∀𝑥𝐴 (#‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
1810, 17sylbi 207 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ Fin → ∀𝑥𝐴 (#‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
1918r19.21bi 2961 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝑥𝐴) → (#‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
2019adantll 750 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑥𝐴) → (#‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
219, 20esumpfinval 30265 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ*𝑥𝐴(#‘𝑥) = Σ𝑥𝐴 (#‘𝑥))
22213adant1 1099 . . . . . 6 ((Disj 𝑥𝐴 𝑥𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ*𝑥𝐴(#‘𝑥) = Σ𝑥𝐴 (#‘𝑥))
238, 22eqtr4d 2688 . . . . 5 ((Disj 𝑥𝐴 𝑥𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (#‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(#‘𝑥))
24233adant1l 1358 . . . 4 (((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (#‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(#‘𝑥))
25243expa 1284 . . 3 ((((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (#‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(#‘𝑥))
26 uniexg 6997 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 𝐴 ∈ V)
2710notbii 309 . . . . . . . . . 10 𝐴 ⊆ Fin ↔ ¬ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ Fin)
28 rexnal 3024 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥𝐴 ¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ Fin)
2927, 28bitr4i 267 . . . . . . . . 9 𝐴 ⊆ Fin ↔ ∃𝑥𝐴 ¬ 𝑥 ∈ Fin)
30 elssuni 4499 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴𝑥 𝐴)
31 ssfi 8221 . . . . . . . . . . . . 13 (( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
3231expcom 450 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 𝐴 → ( 𝐴 ∈ Fin → 𝑥 ∈ Fin))
3332con3d 148 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 𝐴 → (¬ 𝑥 ∈ Fin → ¬ 𝐴 ∈ Fin))
3430, 33syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴 → (¬ 𝑥 ∈ Fin → ¬ 𝐴 ∈ Fin))
3534rexlimiv 3056 . . . . . . . . 9 (∃𝑥𝐴 ¬ 𝑥 ∈ Fin → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
3629, 35sylbi 207 . . . . . . . 8 𝐴 ⊆ Fin → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
37 hashinf 13162 . . . . . . . 8 (( 𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (#‘ 𝐴) = +∞)
3826, 36, 37syl2an 493 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ⊆ Fin) → (#‘ 𝐴) = +∞)
39 vex 3234 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ V
40 hashinf 13162 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ V ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin) → (#‘𝑥) = +∞)
4139, 40mpan 706 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ Fin → (#‘𝑥) = +∞)
4241reximi 3040 . . . . . . . . 9 (∃𝑥𝐴 ¬ 𝑥 ∈ Fin → ∃𝑥𝐴 (#‘𝑥) = +∞)
4329, 42sylbi 207 . . . . . . . 8 𝐴 ⊆ Fin → ∃𝑥𝐴 (#‘𝑥) = +∞)
44 nfv 1883 . . . . . . . . . 10 𝑥 𝐴𝑉
45 nfre1 3034 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑥𝐴 (#‘𝑥) = +∞
4644, 45nfan 1868 . . . . . . . . 9 𝑥(𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐴 (#‘𝑥) = +∞)
47 simpl 472 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐴 (#‘𝑥) = +∞) → 𝐴𝑉)
48 hashf2 30274 . . . . . . . . . . 11 #:V⟶(0[,]+∞)
49 ffvelrn 6397 . . . . . . . . . . 11 ((#:V⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ V) → (#‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
5048, 39, 49mp2an 708 . . . . . . . . . 10 (#‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)
5150a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐴 (#‘𝑥) = +∞) ∧ 𝑥𝐴) → (#‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
52 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐴 (#‘𝑥) = +∞) → ∃𝑥𝐴 (#‘𝑥) = +∞)
5346, 47, 51, 52esumpinfval 30263 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐴 (#‘𝑥) = +∞) → Σ*𝑥𝐴(#‘𝑥) = +∞)
5443, 53sylan2 490 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ*𝑥𝐴(#‘𝑥) = +∞)
5538, 54eqtr4d 2688 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ⊆ Fin) → (#‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(#‘𝑥))
56553adant2 1100 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐴 ⊆ Fin) → (#‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(#‘𝑥))
57563adant1r 1359 . . . 4 (((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐴 ⊆ Fin) → (#‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(#‘𝑥))
58573expa 1284 . . 3 ((((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ ¬ 𝐴 ⊆ Fin) → (#‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(#‘𝑥))
5925, 58pm2.61dan 849 . 2 (((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (#‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(#‘𝑥))
60 pwfi 8302 . . . . . . 7 ( 𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
61 pwuni 4506 . . . . . . . 8 𝐴 ⊆ 𝒫 𝐴
62 ssfi 8221 . . . . . . . 8 ((𝒫 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
6361, 62mpan2 707 . . . . . . 7 (𝒫 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
6460, 63sylbi 207 . . . . . 6 ( 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
6564con3i 150 . . . . 5 𝐴 ∈ Fin → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
6626, 65, 37syl2an 493 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (#‘ 𝐴) = +∞)
67 nftru 1770 . . . . . . . . 9 𝑥
68 unrab 3931 . . . . . . . . . . 11 ({𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} ∪ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0}) = {𝑥𝐴 ∣ ((#‘𝑥) = 0 ∨ ¬ (#‘𝑥) = 0)}
69 exmid 430 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑥) = 0 ∨ ¬ (#‘𝑥) = 0)
7069rgenw 2953 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐴 ((#‘𝑥) = 0 ∨ ¬ (#‘𝑥) = 0)
71 rabid2 3148 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = {𝑥𝐴 ∣ ((#‘𝑥) = 0 ∨ ¬ (#‘𝑥) = 0)} ↔ ∀𝑥𝐴 ((#‘𝑥) = 0 ∨ ¬ (#‘𝑥) = 0))
7270, 71mpbir 221 . . . . . . . . . . 11 𝐴 = {𝑥𝐴 ∣ ((#‘𝑥) = 0 ∨ ¬ (#‘𝑥) = 0)}
7368, 72eqtr4i 2676 . . . . . . . . . 10 ({𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} ∪ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0}) = 𝐴
7473a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → ({𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} ∪ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0}) = 𝐴)
7567, 74esumeq1d 30225 . . . . . . . 8 (⊤ → Σ*𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} ∪ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0})(#‘𝑥) = Σ*𝑥𝐴(#‘𝑥))
7675trud 1533 . . . . . . 7 Σ*𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} ∪ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0})(#‘𝑥) = Σ*𝑥𝐴(#‘𝑥)
77 nfrab1 3152 . . . . . . . 8 𝑥{𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0}
78 nfrab1 3152 . . . . . . . 8 𝑥{𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0}
79 rabexg 4844 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} ∈ V)
80 rabexg 4844 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0} ∈ V)
81 rabnc 3995 . . . . . . . . 9 ({𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} ∩ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0}) = ∅
8281a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → ({𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} ∩ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0}) = ∅)
8350a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0}) → (#‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
8450a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0}) → (#‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
8544, 77, 78, 79, 80, 82, 83, 84esumsplit 30243 . . . . . . 7 (𝐴𝑉 → Σ*𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} ∪ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0})(#‘𝑥) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} (#‘𝑥) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0} (#‘𝑥)))
8676, 85syl5eqr 2699 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → Σ*𝑥𝐴(#‘𝑥) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} (#‘𝑥) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0} (#‘𝑥)))
8786adantr 480 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → Σ*𝑥𝐴(#‘𝑥) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} (#‘𝑥) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0} (#‘𝑥)))
88 nfv 1883 . . . . . . 7 𝑥(𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin)
8980adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0} ∈ V)
90 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
91 dfrab3 3935 . . . . . . . . . . . 12 {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} = (𝐴 ∩ {𝑥 ∣ (#‘𝑥) = 0})
92 hasheq0 13192 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ V → ((#‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = ∅))
9339, 92ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = ∅)
9493abbii 2768 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑥 ∣ (#‘𝑥) = 0} = {𝑥𝑥 = ∅}
95 df-sn 4211 . . . . . . . . . . . . . 14 {∅} = {𝑥𝑥 = ∅}
9694, 95eqtr4i 2676 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑥 ∣ (#‘𝑥) = 0} = {∅}
9796ineq2i 3844 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∩ {𝑥 ∣ (#‘𝑥) = 0}) = (𝐴 ∩ {∅})
9891, 97eqtri 2673 . . . . . . . . . . 11 {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} = (𝐴 ∩ {∅})
99 snfi 8079 . . . . . . . . . . . 12 {∅} ∈ Fin
100 inss2 3867 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∩ {∅}) ⊆ {∅}
101 ssfi 8221 . . . . . . . . . . . 12 (({∅} ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ {∅}) ⊆ {∅}) → (𝐴 ∩ {∅}) ∈ Fin)
10299, 100, 101mp2an 708 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∩ {∅}) ∈ Fin
10398, 102eqeltri 2726 . . . . . . . . . 10 {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} ∈ Fin
104103a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} ∈ Fin)
105 difinf 8271 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} ∈ Fin) → ¬ (𝐴 ∖ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0}) ∈ Fin)
10690, 104, 105syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (𝐴 ∖ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0}) ∈ Fin)
107 notrab 3937 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∖ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0}) = {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0}
108107eleq1i 2721 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∖ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0}) ∈ Fin ↔ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0} ∈ Fin)
109106, 108sylnib 317 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0} ∈ Fin)
11050a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0}) → (#‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
11139a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0}) → 𝑥 ∈ V)
112 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0})
113 rabid 3145 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0} ↔ (𝑥𝐴 ∧ ¬ (#‘𝑥) = 0))
114112, 113sylib 208 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0}) → (𝑥𝐴 ∧ ¬ (#‘𝑥) = 0))
115114simprd 478 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0}) → ¬ (#‘𝑥) = 0)
11693biimpri 218 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → (#‘𝑥) = 0)
117116necon3bi 2849 . . . . . . . . 9 (¬ (#‘𝑥) = 0 → 𝑥 ≠ ∅)
118115, 117syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0}) → 𝑥 ≠ ∅)
119 hashge1 13216 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅) → 1 ≤ (#‘𝑥))
120111, 118, 119syl2anc 694 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0}) → 1 ≤ (#‘𝑥))
121 1re 10077 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
122121rexri 10135 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
123122a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 1 ∈ ℝ*)
124 0lt1 10588 . . . . . . . 8 0 < 1
125124a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 0 < 1)
12688, 78, 89, 109, 110, 120, 123, 125esumpinfsum 30267 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0} (#‘𝑥) = +∞)
127126oveq2d 6706 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} (#‘𝑥) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0} (#‘𝑥)) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} (#‘𝑥) +𝑒 +∞))
128 iccssxr 12294 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
12979adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} ∈ V)
13050a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0}) → (#‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
131130ralrimiva 2995 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} (#‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
13277esumcl 30220 . . . . . . . 8 (({𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} (#‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} (#‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
133129, 131, 132syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} (#‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
134128, 133sseldi 3634 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} (#‘𝑥) ∈ ℝ*)
135 xrge0neqmnf 12314 . . . . . . 7 *𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} (#‘𝑥) ∈ (0[,]+∞) → Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} (#‘𝑥) ≠ -∞)
136133, 135syl 17 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} (#‘𝑥) ≠ -∞)
137 xaddpnf1 12095 . . . . . 6 ((Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} (#‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} (#‘𝑥) ≠ -∞) → (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} (#‘𝑥) +𝑒 +∞) = +∞)
138134, 136, 137syl2anc 694 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} (#‘𝑥) +𝑒 +∞) = +∞)
13987, 127, 1383eqtrd 2689 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → Σ*𝑥𝐴(#‘𝑥) = +∞)
14066, 139eqtr4d 2688 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (#‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(#‘𝑥))
141140adantlr 751 . 2 (((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (#‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(#‘𝑥))
14259, 141pm2.61dan 849 1 ((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) → (#‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(#‘𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wtru 1524  wcel 2030  {cab 2637  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  Vcvv 3231  cdif 3604  cun 3605  cin 3606  wss 3607  c0 3948  𝒫 cpw 4191  {csn 4210   cuni 4468  Disj wdisj 4652   class class class wbr 4685  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975  +∞cpnf 10109  -∞cmnf 10110  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  0cn0 11330   +𝑒 cxad 11982  [,)cico 12215  [,]cicc 12216  #chash 13157  Σcsu 14460  Σ*cesum 30217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-ordt 16208  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-ps 17247  df-tsr 17248  df-plusf 17288  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-subrg 18826  df-abv 18865  df-lmod 18913  df-scaf 18914  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-tmd 21923  df-tgp 21924  df-tsms 21977  df-trg 22010  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-nm 22434  df-ngp 22435  df-nrg 22437  df-nlm 22438  df-ii 22727  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-esum 30218
This theorem is referenced by:  cntmeas  30417
  Copyright terms: Public domain W3C validator