Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hasheuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hasheuni 29280
Description: The cardinality of a disjoint union, not necessarily finite. cf. hashuni 14343. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Nov-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 20-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
hasheuni ((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) → (#‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(#‘𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉

Proof of Theorem hasheuni
StepHypRef Expression
1 nfdisj1 4560 . . . . . . . 8 𝑥Disj 𝑥𝐴 𝑥
2 nfv 1829 . . . . . . . 8 𝑥 𝐴 ∈ Fin
3 nfv 1829 . . . . . . . 8 𝑥 𝐴 ⊆ Fin
41, 2, 3nf3an 1818 . . . . . . 7 𝑥(Disj 𝑥𝐴 𝑥𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin)
5 simp2 1054 . . . . . . 7 ((Disj 𝑥𝐴 𝑥𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
6 simp3 1055 . . . . . . 7 ((Disj 𝑥𝐴 𝑥𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ⊆ Fin)
7 simp1 1053 . . . . . . 7 ((Disj 𝑥𝐴 𝑥𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Disj 𝑥𝐴 𝑥)
84, 5, 6, 7hashunif 28755 . . . . . 6 ((Disj 𝑥𝐴 𝑥𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (#‘ 𝐴) = Σ𝑥𝐴 (#‘𝑥))
9 simpl 471 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
10 dfss3 3557 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ⊆ Fin ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ Fin)
11 hashcl 12961 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ Fin → (#‘𝑥) ∈ ℕ0)
12 nn0re 11148 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑥) ∈ ℕ0 → (#‘𝑥) ∈ ℝ)
13 nn0ge0 11165 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑥) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (#‘𝑥))
14 elrege0 12105 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((#‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (#‘𝑥)))
1512, 13, 14sylanbrc 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑥) ∈ ℕ0 → (#‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
1611, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ Fin → (#‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
1716ralimi 2935 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ Fin → ∀𝑥𝐴 (#‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
1810, 17sylbi 205 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ⊆ Fin → ∀𝑥𝐴 (#‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
1918r19.21bi 2915 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝑥𝐴) → (#‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
2019adantll 745 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) ∧ 𝑥𝐴) → (#‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
219, 20esumpfinval 29270 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ*𝑥𝐴(#‘𝑥) = Σ𝑥𝐴 (#‘𝑥))
22213adant1 1071 . . . . . 6 ((Disj 𝑥𝐴 𝑥𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ*𝑥𝐴(#‘𝑥) = Σ𝑥𝐴 (#‘𝑥))
238, 22eqtr4d 2646 . . . . 5 ((Disj 𝑥𝐴 𝑥𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (#‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(#‘𝑥))
24233adant1l 1309 . . . 4 (((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (#‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(#‘𝑥))
25243expa 1256 . . 3 ((((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 ⊆ Fin) → (#‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(#‘𝑥))
26 uniexg 6830 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 𝐴 ∈ V)
2710notbii 308 . . . . . . . . . 10 𝐴 ⊆ Fin ↔ ¬ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ Fin)
28 rexnal 2977 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥𝐴 ¬ 𝑥 ∈ Fin ↔ ¬ ∀𝑥𝐴 𝑥 ∈ Fin)
2927, 28bitr4i 265 . . . . . . . . 9 𝐴 ⊆ Fin ↔ ∃𝑥𝐴 ¬ 𝑥 ∈ Fin)
30 elssuni 4397 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴𝑥 𝐴)
31 ssfi 8042 . . . . . . . . . . . . 13 (( 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
3231expcom 449 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 𝐴 → ( 𝐴 ∈ Fin → 𝑥 ∈ Fin))
3332con3d 146 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 𝐴 → (¬ 𝑥 ∈ Fin → ¬ 𝐴 ∈ Fin))
3430, 33syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴 → (¬ 𝑥 ∈ Fin → ¬ 𝐴 ∈ Fin))
3534rexlimiv 3008 . . . . . . . . 9 (∃𝑥𝐴 ¬ 𝑥 ∈ Fin → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
3629, 35sylbi 205 . . . . . . . 8 𝐴 ⊆ Fin → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
37 hashinf 12939 . . . . . . . 8 (( 𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (#‘ 𝐴) = +∞)
3826, 36, 37syl2an 492 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ⊆ Fin) → (#‘ 𝐴) = +∞)
39 vex 3175 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ V
40 hashinf 12939 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ V ∧ ¬ 𝑥 ∈ Fin) → (#‘𝑥) = +∞)
4139, 40mpan 701 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ Fin → (#‘𝑥) = +∞)
4241reximi 2993 . . . . . . . . 9 (∃𝑥𝐴 ¬ 𝑥 ∈ Fin → ∃𝑥𝐴 (#‘𝑥) = +∞)
4329, 42sylbi 205 . . . . . . . 8 𝐴 ⊆ Fin → ∃𝑥𝐴 (#‘𝑥) = +∞)
44 nfv 1829 . . . . . . . . . 10 𝑥 𝐴𝑉
45 nfre1 2987 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑥𝐴 (#‘𝑥) = +∞
4644, 45nfan 1815 . . . . . . . . 9 𝑥(𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐴 (#‘𝑥) = +∞)
47 simpl 471 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐴 (#‘𝑥) = +∞) → 𝐴𝑉)
48 hashf2 29279 . . . . . . . . . . 11 #:V⟶(0[,]+∞)
49 ffvelrn 6250 . . . . . . . . . . 11 ((#:V⟶(0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ V) → (#‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
5048, 39, 49mp2an 703 . . . . . . . . . 10 (#‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)
5150a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐴 (#‘𝑥) = +∞) ∧ 𝑥𝐴) → (#‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
52 simpr 475 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐴 (#‘𝑥) = +∞) → ∃𝑥𝐴 (#‘𝑥) = +∞)
5346, 47, 51, 52esumpinfval 29268 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐴 (#‘𝑥) = +∞) → Σ*𝑥𝐴(#‘𝑥) = +∞)
5443, 53sylan2 489 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ⊆ Fin) → Σ*𝑥𝐴(#‘𝑥) = +∞)
5538, 54eqtr4d 2646 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ⊆ Fin) → (#‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(#‘𝑥))
56553adant2 1072 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐴 ⊆ Fin) → (#‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(#‘𝑥))
57563adant1r 1310 . . . 4 (((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐴 ⊆ Fin) → (#‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(#‘𝑥))
58573expa 1256 . . 3 ((((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ ¬ 𝐴 ⊆ Fin) → (#‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(#‘𝑥))
5925, 58pm2.61dan 827 . 2 (((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (#‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(#‘𝑥))
60 pwfi 8121 . . . . . . 7 ( 𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ∈ Fin)
61 pwuni 4820 . . . . . . . 8 𝐴 ⊆ 𝒫 𝐴
62 ssfi 8042 . . . . . . . 8 ((𝒫 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
6361, 62mpan2 702 . . . . . . 7 (𝒫 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
6460, 63sylbi 205 . . . . . 6 ( 𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
6564con3i 148 . . . . 5 𝐴 ∈ Fin → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
6626, 65, 37syl2an 492 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (#‘ 𝐴) = +∞)
67 nftru 1720 . . . . . . . . 9 𝑥
68 unrab 3856 . . . . . . . . . . 11 ({𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} ∪ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0}) = {𝑥𝐴 ∣ ((#‘𝑥) = 0 ∨ ¬ (#‘𝑥) = 0)}
69 exmid 429 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑥) = 0 ∨ ¬ (#‘𝑥) = 0)
7069rgenw 2907 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐴 ((#‘𝑥) = 0 ∨ ¬ (#‘𝑥) = 0)
71 rabid2 3095 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = {𝑥𝐴 ∣ ((#‘𝑥) = 0 ∨ ¬ (#‘𝑥) = 0)} ↔ ∀𝑥𝐴 ((#‘𝑥) = 0 ∨ ¬ (#‘𝑥) = 0))
7270, 71mpbir 219 . . . . . . . . . . 11 𝐴 = {𝑥𝐴 ∣ ((#‘𝑥) = 0 ∨ ¬ (#‘𝑥) = 0)}
7368, 72eqtr4i 2634 . . . . . . . . . 10 ({𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} ∪ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0}) = 𝐴
7473a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → ({𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} ∪ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0}) = 𝐴)
7567, 74esumeq1d 29230 . . . . . . . 8 (⊤ → Σ*𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} ∪ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0})(#‘𝑥) = Σ*𝑥𝐴(#‘𝑥))
7675trud 1483 . . . . . . 7 Σ*𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} ∪ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0})(#‘𝑥) = Σ*𝑥𝐴(#‘𝑥)
77 nfrab1 3098 . . . . . . . 8 𝑥{𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0}
78 nfrab1 3098 . . . . . . . 8 𝑥{𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0}
79 rabexg 4734 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} ∈ V)
80 rabexg 4734 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0} ∈ V)
81 rabnc 3915 . . . . . . . . 9 ({𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} ∩ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0}) = ∅
8281a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → ({𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} ∩ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0}) = ∅)
8350a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0}) → (#‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
8450a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0}) → (#‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
8544, 77, 78, 79, 80, 82, 83, 84esumsplit 29248 . . . . . . 7 (𝐴𝑉 → Σ*𝑥 ∈ ({𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} ∪ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0})(#‘𝑥) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} (#‘𝑥) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0} (#‘𝑥)))
8676, 85syl5eqr 2657 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → Σ*𝑥𝐴(#‘𝑥) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} (#‘𝑥) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0} (#‘𝑥)))
8786adantr 479 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → Σ*𝑥𝐴(#‘𝑥) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} (#‘𝑥) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0} (#‘𝑥)))
88 nfv 1829 . . . . . . 7 𝑥(𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin)
8980adantr 479 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0} ∈ V)
90 simpr 475 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
91 dfrab3 3860 . . . . . . . . . . . 12 {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} = (𝐴 ∩ {𝑥 ∣ (#‘𝑥) = 0})
92 hasheq0 12967 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ V → ((#‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = ∅))
9339, 92ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = ∅)
9493abbii 2725 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑥 ∣ (#‘𝑥) = 0} = {𝑥𝑥 = ∅}
95 df-sn 4125 . . . . . . . . . . . . . 14 {∅} = {𝑥𝑥 = ∅}
9694, 95eqtr4i 2634 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑥 ∣ (#‘𝑥) = 0} = {∅}
9796ineq2i 3772 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∩ {𝑥 ∣ (#‘𝑥) = 0}) = (𝐴 ∩ {∅})
9891, 97eqtri 2631 . . . . . . . . . . 11 {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} = (𝐴 ∩ {∅})
99 snfi 7900 . . . . . . . . . . . 12 {∅} ∈ Fin
100 inss2 3795 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∩ {∅}) ⊆ {∅}
101 ssfi 8042 . . . . . . . . . . . 12 (({∅} ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ {∅}) ⊆ {∅}) → (𝐴 ∩ {∅}) ∈ Fin)
10299, 100, 101mp2an 703 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∩ {∅}) ∈ Fin
10398, 102eqeltri 2683 . . . . . . . . . 10 {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} ∈ Fin
104103a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} ∈ Fin)
105 difinf 8092 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} ∈ Fin) → ¬ (𝐴 ∖ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0}) ∈ Fin)
10690, 104, 105syl2anc 690 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ (𝐴 ∖ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0}) ∈ Fin)
107 notrab 3862 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∖ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0}) = {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0}
108107eleq1i 2678 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∖ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0}) ∈ Fin ↔ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0} ∈ Fin)
109106, 108sylnib 316 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ¬ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0} ∈ Fin)
11050a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0}) → (#‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
11139a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0}) → 𝑥 ∈ V)
112 simpr 475 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0}) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0})
113 rabid 3094 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0} ↔ (𝑥𝐴 ∧ ¬ (#‘𝑥) = 0))
114112, 113sylib 206 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0}) → (𝑥𝐴 ∧ ¬ (#‘𝑥) = 0))
115114simprd 477 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0}) → ¬ (#‘𝑥) = 0)
11693biimpri 216 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → (#‘𝑥) = 0)
117116necon3bi 2807 . . . . . . . . 9 (¬ (#‘𝑥) = 0 → 𝑥 ≠ ∅)
118115, 117syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0}) → 𝑥 ≠ ∅)
119 hashge1 12991 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑥 ≠ ∅) → 1 ≤ (#‘𝑥))
120111, 118, 119syl2anc 690 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0}) → 1 ≤ (#‘𝑥))
121 1re 9895 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
122121rexri 9948 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
123122a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 1 ∈ ℝ*)
124 0lt1 10399 . . . . . . . 8 0 < 1
125124a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 0 < 1)
12688, 78, 89, 109, 110, 120, 123, 125esumpinfsum 29272 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0} (#‘𝑥) = +∞)
127126oveq2d 6543 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} (#‘𝑥) +𝑒 Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ ¬ (#‘𝑥) = 0} (#‘𝑥)) = (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} (#‘𝑥) +𝑒 +∞))
128 iccssxr 12083 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
12979adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} ∈ V)
13050a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0}) → (#‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
131130ralrimiva 2948 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} (#‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
13277esumcl 29225 . . . . . . . 8 (({𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} (#‘𝑥) ∈ (0[,]+∞)) → Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} (#‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
133129, 131, 132syl2anc 690 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} (#‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
134128, 133sseldi 3565 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} (#‘𝑥) ∈ ℝ*)
135 xrge0neqmnf 12103 . . . . . . 7 *𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} (#‘𝑥) ∈ (0[,]+∞) → Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} (#‘𝑥) ≠ -∞)
136133, 135syl 17 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} (#‘𝑥) ≠ -∞)
137 xaddpnf1 11890 . . . . . 6 ((Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} (#‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} (#‘𝑥) ≠ -∞) → (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} (#‘𝑥) +𝑒 +∞) = +∞)
138134, 136, 137syl2anc 690 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (Σ*𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (#‘𝑥) = 0} (#‘𝑥) +𝑒 +∞) = +∞)
13987, 127, 1383eqtrd 2647 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → Σ*𝑥𝐴(#‘𝑥) = +∞)
14066, 139eqtr4d 2646 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (#‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(#‘𝑥))
141140adantlr 746 . 2 (((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (#‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(#‘𝑥))
14259, 141pm2.61dan 827 1 ((𝐴𝑉Disj 𝑥𝐴 𝑥) → (#‘ 𝐴) = Σ*𝑥𝐴(#‘𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wtru 1475  wcel 1976  {cab 2595  wne 2779  wral 2895  wrex 2896  {crab 2899  Vcvv 3172  cdif 3536  cun 3537  cin 3538  wss 3539  c0 3873  𝒫 cpw 4107  {csn 4124   cuni 4366  Disj wdisj 4547   class class class wbr 4577  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  Fincfn 7818  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793  +∞cpnf 9927  -∞cmnf 9928  *cxr 9929   < clt 9930  cle 9931  0cn0 11139   +𝑒 cxad 11776  [,)cico 12004  [,]cicc 12005  #chash 12934  Σcsu 14210  Σ*cesum 29222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-disj 4548  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-ioc 12007  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-mod 12486  df-seq 12619  df-exp 12678  df-fac 12878  df-bc 12907  df-hash 12935  df-shft 13601  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-limsup 13996  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211  df-ef 14583  df-sin 14585  df-cos 14586  df-pi 14588  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-pt 15874  df-prds 15877  df-ordt 15930  df-xrs 15931  df-qtop 15936  df-imas 15937  df-xps 15939  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-ps 16969  df-tsr 16970  df-plusf 17010  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-mhm 17104  df-submnd 17105  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-sbg 17196  df-mulg 17310  df-subg 17360  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-abl 17965  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-cring 18319  df-subrg 18547  df-abv 18586  df-lmod 18634  df-scaf 18635  df-sra 18939  df-rgmod 18940  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-fbas 19510  df-fg 19511  df-cnfld 19514  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cld 20575  df-ntr 20576  df-cls 20577  df-nei 20654  df-lp 20692  df-perf 20693  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-haus 20871  df-tx 21117  df-hmeo 21310  df-fil 21402  df-fm 21494  df-flim 21495  df-flf 21496  df-tmd 21628  df-tgp 21629  df-tsms 21682  df-trg 21715  df-xms 21876  df-ms 21877  df-tms 21878  df-nm 22138  df-ngp 22139  df-nrg 22141  df-nlm 22142  df-ii 22419  df-cncf 22420  df-limc 23353  df-dv 23354  df-log 24024  df-esum 29223
This theorem is referenced by:  cntmeas  29422
  Copyright terms: Public domain W3C validator