Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  unfi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem unfi2 8174
 Description: The union of two finite sets is finite. Part of Corollary 6K of [Enderton] p. 144. This version of unfi 8172 is useful only if we assume the Axiom of Infinity (see comments in fin2inf 8168). (Contributed by NM, 22-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
unfi2 ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴𝐵) ≺ ω)

Proof of Theorem unfi2
StepHypRef Expression
1 isfinite2 8163 . . 3 (𝐴 ≺ ω → 𝐴 ∈ Fin)
2 isfinite2 8163 . . 3 (𝐵 ≺ ω → 𝐵 ∈ Fin)
3 unfi 8172 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
41, 2, 3syl2an 494 . 2 ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴𝐵) ∈ Fin)
5 fin2inf 8168 . . . 4 (𝐴 ≺ ω → ω ∈ V)
65adantr 481 . . 3 ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → ω ∈ V)
7 isfiniteg 8165 . . 3 (ω ∈ V → ((𝐴𝐵) ∈ Fin ↔ (𝐴𝐵) ≺ ω))
86, 7syl 17 . 2 ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → ((𝐴𝐵) ∈ Fin ↔ (𝐴𝐵) ≺ ω))
94, 8mpbid 222 1 ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴𝐵) ≺ ω)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∈ wcel 1992  Vcvv 3191   ∪ cun 3558   class class class wbr 4618  ωcom 7013   ≺ csdm 7899  Fincfn 7900 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904 This theorem is referenced by:  cdafi  8957  cdainflem  8958  infunsdom1  8980
 Copyright terms: Public domain W3C validator