Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domnmuln0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domnmuln0 19226
 Description: In a domain, a product of nonzero elements is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
domneq0.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
domneq0.t · = (.r𝑅)
domneq0.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
domnmuln0 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 )

Proof of Theorem domnmuln0
StepHypRef Expression
1 an4 864 . . 3 (((𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) ↔ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑋0𝑌0 )))
2 domneq0.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 domneq0.t . . . . . . . . 9 · = (.r𝑅)
4 domneq0.z . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑅)
52, 3, 4domneq0 19225 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 = 0𝑌 = 0 )))
653expb 1263 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 = 0𝑌 = 0 )))
76necon3abid 2826 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑋 = 0𝑌 = 0 )))
8 neanior 2882 . . . . . 6 ((𝑋0𝑌0 ) ↔ ¬ (𝑋 = 0𝑌 = 0 ))
97, 8syl6rbbr 279 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋0𝑌0 ) ↔ (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 ))
109biimpd 219 . . . 4 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋0𝑌0 ) → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 ))
1110expimpd 628 . . 3 (𝑅 ∈ Domn → (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑋0𝑌0 )) → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 ))
121, 11syl5bi 232 . 2 (𝑅 ∈ Domn → (((𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 ))
13123impib 1259 1 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  Basecbs 15788  .rcmulr 15870  0gc0g 16028  Domncdomn 19208 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-2 11030  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-plusg 15882  df-0g 16030  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-grp 17353  df-minusg 17354  df-mgp 18418  df-ring 18477  df-nzr 19186  df-domn 19212 This theorem is referenced by:  abvn0b  19230  deg1mhm  37293  domnmsuppn0  41459
 Copyright terms: Public domain W3C validator