MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1opwfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1opwfi 8386
Description: A one-to-one mapping induces a one-to-one mapping on finite subsets. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1opwfi (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐹𝑏)):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)–1-1-onto→(𝒫 𝐵 ∩ Fin))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏   𝐵,𝑏   𝐹,𝑏

Proof of Theorem f1opwfi
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2724 . 2 (𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐹𝑏)) = (𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐹𝑏))
2 imassrn 5587 . . . . . 6 (𝐹𝑏) ⊆ ran 𝐹
3 f1ofo 6257 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴onto𝐵)
4 forn 6231 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴onto𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
62, 5syl5sseq 3759 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐹𝑏) ⊆ 𝐵)
76adantr 472 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑏) ⊆ 𝐵)
8 inss2 3942 . . . . . . 7 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ Fin
9 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
108, 9sseldi 3707 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑏 ∈ Fin)
11 f1ofun 6252 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → Fun 𝐹)
1211adantr 472 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → Fun 𝐹)
13 inss1 3941 . . . . . . . . . . 11 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐴
1413sseli 3705 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑏 ∈ 𝒫 𝐴)
15 elpwi 4276 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑏𝐴)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑏𝐴)
1716adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑏𝐴)
18 f1odm 6254 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
1918adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → dom 𝐹 = 𝐴)
2017, 19sseqtr4d 3748 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑏 ⊆ dom 𝐹)
21 fores 6237 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹𝑏 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹𝑏):𝑏onto→(𝐹𝑏))
2212, 20, 21syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑏):𝑏onto→(𝐹𝑏))
23 fofi 8368 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ Fin ∧ (𝐹𝑏):𝑏onto→(𝐹𝑏)) → (𝐹𝑏) ∈ Fin)
2410, 22, 23syl2anc 696 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑏) ∈ Fin)
25 elpwg 4274 . . . . 5 ((𝐹𝑏) ∈ Fin → ((𝐹𝑏) ∈ 𝒫 𝐵 ↔ (𝐹𝑏) ⊆ 𝐵))
2624, 25syl 17 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → ((𝐹𝑏) ∈ 𝒫 𝐵 ↔ (𝐹𝑏) ⊆ 𝐵))
277, 26mpbird 247 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑏) ∈ 𝒫 𝐵)
2827, 24elind 3906 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝐹𝑏) ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
29 imassrn 5587 . . . . . 6 (𝐹𝑎) ⊆ ran 𝐹
30 dfdm4 5423 . . . . . . 7 dom 𝐹 = ran 𝐹
3130, 18syl5eqr 2772 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → ran 𝐹 = 𝐴)
3229, 31syl5sseq 3759 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐹𝑎) ⊆ 𝐴)
3332adantr 472 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝐹𝑎) ⊆ 𝐴)
34 inss2 3942 . . . . . . 7 (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ⊆ Fin
35 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
3634, 35sseldi 3707 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ Fin)
37 dff1o3 6256 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ↔ (𝐹:𝐴onto𝐵 ∧ Fun 𝐹))
3837simprbi 483 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → Fun 𝐹)
3938adantr 472 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → Fun 𝐹)
40 inss1 3941 . . . . . . . . . . 11 (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ⊆ 𝒫 𝐵
4140sseli 3705 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)
4241adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)
43 elpwi 4276 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ 𝒫 𝐵𝑎𝐵)
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑎𝐵)
45 f1ocnv 6262 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
4645adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
47 f1odm 6254 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐴 → dom 𝐹 = 𝐵)
4846, 47syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → dom 𝐹 = 𝐵)
4944, 48sseqtr4d 3748 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑎 ⊆ dom 𝐹)
50 fores 6237 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹𝑎 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹𝑎):𝑎onto→(𝐹𝑎))
5139, 49, 50syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝐹𝑎):𝑎onto→(𝐹𝑎))
52 fofi 8368 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ Fin ∧ (𝐹𝑎):𝑎onto→(𝐹𝑎)) → (𝐹𝑎) ∈ Fin)
5336, 51, 52syl2anc 696 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝐹𝑎) ∈ Fin)
54 elpwg 4274 . . . . 5 ((𝐹𝑎) ∈ Fin → ((𝐹𝑎) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝐹𝑎) ⊆ 𝐴))
5553, 54syl 17 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → ((𝐹𝑎) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝐹𝑎) ⊆ 𝐴))
5633, 55mpbird 247 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝐹𝑎) ∈ 𝒫 𝐴)
5756, 53elind 3906 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝐹𝑎) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
5814, 41anim12i 591 . . 3 ((𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵))
5943adantl 473 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑎𝐵)
60 foimacnv 6267 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴onto𝐵𝑎𝐵) → (𝐹 “ (𝐹𝑎)) = 𝑎)
613, 59, 60syl2an 495 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)) → (𝐹 “ (𝐹𝑎)) = 𝑎)
6261eqcomd 2730 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)) → 𝑎 = (𝐹 “ (𝐹𝑎)))
63 imaeq2 5572 . . . . . 6 (𝑏 = (𝐹𝑎) → (𝐹𝑏) = (𝐹 “ (𝐹𝑎)))
6463eqeq2d 2734 . . . . 5 (𝑏 = (𝐹𝑎) → (𝑎 = (𝐹𝑏) ↔ 𝑎 = (𝐹 “ (𝐹𝑎))))
6562, 64syl5ibrcom 237 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)) → (𝑏 = (𝐹𝑎) → 𝑎 = (𝐹𝑏)))
66 f1of1 6249 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴1-1𝐵)
6715adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑏𝐴)
68 f1imacnv 6266 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝑏𝐴) → (𝐹 “ (𝐹𝑏)) = 𝑏)
6966, 67, 68syl2an 495 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)) → (𝐹 “ (𝐹𝑏)) = 𝑏)
7069eqcomd 2730 . . . . 5 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)) → 𝑏 = (𝐹 “ (𝐹𝑏)))
71 imaeq2 5572 . . . . . 6 (𝑎 = (𝐹𝑏) → (𝐹𝑎) = (𝐹 “ (𝐹𝑏)))
7271eqeq2d 2734 . . . . 5 (𝑎 = (𝐹𝑏) → (𝑏 = (𝐹𝑎) ↔ 𝑏 = (𝐹 “ (𝐹𝑏))))
7370, 72syl5ibrcom 237 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)) → (𝑎 = (𝐹𝑏) → 𝑏 = (𝐹𝑎)))
7465, 73impbid 202 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑏 ∈ 𝒫 𝐴𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)) → (𝑏 = (𝐹𝑎) ↔ 𝑎 = (𝐹𝑏)))
7558, 74sylan2 492 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑎 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))) → (𝑏 = (𝐹𝑎) ↔ 𝑎 = (𝐹𝑏)))
761, 28, 57, 75f1o2d 7004 1 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝑏 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝐹𝑏)):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)–1-1-onto→(𝒫 𝐵 ∩ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  cin 3679  wss 3680  𝒫 cpw 4266  cmpt 4837  ccnv 5217  dom cdm 5218  ran crn 5219  cres 5220  cima 5221  Fun wfun 5995  1-1wf1 5998  ontowfo 5999  1-1-ontowf1o 6000  Fincfn 8072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-om 7183  df-1o 7680  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-fin 8076
This theorem is referenced by:  fictb  9180  ackbijnn  14680  tsmsf1o  22070  eulerpartgbij  30664
  Copyright terms: Public domain W3C validator