MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fczfsuppd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fczfsuppd 8240
Description: A constant function with value zero is finitely supported. (Contributed by AV, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fczfsuppd.b (𝜑𝐵𝑉)
fczfsuppd.z (𝜑𝑍𝑊)
Assertion
Ref Expression
fczfsuppd (𝜑 → (𝐵 × {𝑍}) finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fczfsuppd
StepHypRef Expression
1 fczfsuppd.z . . 3 (𝜑𝑍𝑊)
2 fnconstg 6052 . . 3 (𝑍𝑊 → (𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵)
3 fnfun 5948 . . 3 ((𝐵 × {𝑍}) Fn 𝐵 → Fun (𝐵 × {𝑍}))
41, 2, 33syl 18 . 2 (𝜑 → Fun (𝐵 × {𝑍}))
5 fczsupp0 7272 . . . 4 ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) = ∅
6 0fin 8135 . . . 4 ∅ ∈ Fin
75, 6eqeltri 2694 . . 3 ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ∈ Fin
87a1i 11 . 2 (𝜑 → ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ∈ Fin)
9 fczfsuppd.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑉)
10 snex 4871 . . . 4 {𝑍} ∈ V
11 xpexg 6916 . . . 4 ((𝐵𝑉 ∧ {𝑍} ∈ V) → (𝐵 × {𝑍}) ∈ V)
129, 10, 11sylancl 693 . . 3 (𝜑 → (𝐵 × {𝑍}) ∈ V)
13 isfsupp 8226 . . 3 (((𝐵 × {𝑍}) ∈ V ∧ 𝑍𝑊) → ((𝐵 × {𝑍}) finSupp 𝑍 ↔ (Fun (𝐵 × {𝑍}) ∧ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ∈ Fin)))
1412, 1, 13syl2anc 692 . 2 (𝜑 → ((𝐵 × {𝑍}) finSupp 𝑍 ↔ (Fun (𝐵 × {𝑍}) ∧ ((𝐵 × {𝑍}) supp 𝑍) ∈ Fin)))
154, 8, 14mpbir2and 956 1 (𝜑 → (𝐵 × {𝑍}) finSupp 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  wcel 1987  Vcvv 3186  c0 3893  {csn 4150   class class class wbr 4615   × cxp 5074  Fun wfun 5843   Fn wfn 5844  (class class class)co 6607   supp csupp 7243  Fincfn 7902   finSupp cfsupp 8222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-supp 7244  df-en 7903  df-fin 7906  df-fsupp 8223
This theorem is referenced by:  cantnf0  8519  cantnf  8537  dprdsubg  18347  tsms0  21858  tgptsmscls  21866  dchrptlem3  24898
  Copyright terms: Public domain W3C validator