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Theorem genpnnp 9812
Description: The result of an operation on positive reals is different from the set of positive fractions. (Contributed by NM, 29-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
genp.1 𝐹 = (𝑤P, 𝑣P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
genp.2 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
genpnnp.3 (𝑧Q → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧𝐺𝑥) <Q (𝑧𝐺𝑦)))
genpnnp.4 (𝑥𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥)
Assertion
Ref Expression
genpnnp ((𝐴P𝐵P) → ¬ (𝐴𝐹𝐵) = Q)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣   𝑥,𝐺   𝑦,𝑤,𝑣,𝐺,𝑧   𝑤,𝐴,𝑣   𝑤,𝐵,𝑣   𝑤,𝐹,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem genpnnp
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prpssnq 9797 . . . . 5 (𝐴P𝐴Q)
2 pssnel 4030 . . . . 5 (𝐴Q → ∃𝑤(𝑤Q ∧ ¬ 𝑤𝐴))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝐴P → ∃𝑤(𝑤Q ∧ ¬ 𝑤𝐴))
4 prpssnq 9797 . . . . 5 (𝐵P𝐵Q)
5 pssnel 4030 . . . . 5 (𝐵Q → ∃𝑣(𝑣Q ∧ ¬ 𝑣𝐵))
64, 5syl 17 . . . 4 (𝐵P → ∃𝑣(𝑣Q ∧ ¬ 𝑣𝐵))
73, 6anim12i 589 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → (∃𝑤(𝑤Q ∧ ¬ 𝑤𝐴) ∧ ∃𝑣(𝑣Q ∧ ¬ 𝑣𝐵)))
8 eeanv 2180 . . 3 (∃𝑤𝑣((𝑤Q ∧ ¬ 𝑤𝐴) ∧ (𝑣Q ∧ ¬ 𝑣𝐵)) ↔ (∃𝑤(𝑤Q ∧ ¬ 𝑤𝐴) ∧ ∃𝑣(𝑣Q ∧ ¬ 𝑣𝐵)))
97, 8sylibr 224 . 2 ((𝐴P𝐵P) → ∃𝑤𝑣((𝑤Q ∧ ¬ 𝑤𝐴) ∧ (𝑣Q ∧ ¬ 𝑣𝐵)))
10 prub 9801 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴P𝑓𝐴) ∧ 𝑤Q) → (¬ 𝑤𝐴𝑓 <Q 𝑤))
11 prub 9801 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐵P𝑔𝐵) ∧ 𝑣Q) → (¬ 𝑣𝐵𝑔 <Q 𝑣))
1210, 11im2anan9 879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴P𝑓𝐴) ∧ 𝑤Q) ∧ ((𝐵P𝑔𝐵) ∧ 𝑣Q)) → ((¬ 𝑤𝐴 ∧ ¬ 𝑣𝐵) → (𝑓 <Q 𝑤𝑔 <Q 𝑣)))
13 elprnq 9798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴P𝑓𝐴) → 𝑓Q)
1413anim1i 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴P𝑓𝐴) ∧ 𝑤Q) → (𝑓Q𝑤Q))
15 elprnq 9798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵P𝑔𝐵) → 𝑔Q)
1615anim1i 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐵P𝑔𝐵) ∧ 𝑣Q) → (𝑔Q𝑣Q))
17 ltsonq 9776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 <Q Or Q
18 so2nr 5049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (( <Q Or Q ∧ (𝑓Q𝑤Q)) → ¬ (𝑓 <Q 𝑤𝑤 <Q 𝑓))
1917, 18mpan 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑓Q𝑤Q) → ¬ (𝑓 <Q 𝑤𝑤 <Q 𝑓))
2019ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑓Q𝑤Q) ∧ (𝑔Q𝑣Q)) ∧ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔)) → ¬ (𝑓 <Q 𝑤𝑤 <Q 𝑓))
21 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑔Q𝑣Q) → 𝑣Q)
22 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑓Q𝑤Q) → 𝑓Q)
2321, 22anim12i 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑔Q𝑣Q) ∧ (𝑓Q𝑤Q)) → (𝑣Q𝑓Q))
2423ancoms 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑓Q𝑤Q) ∧ (𝑔Q𝑣Q)) → (𝑣Q𝑓Q))
25 vex 3198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑤 ∈ V
26 vex 3198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑣 ∈ V
27 genpnnp.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧Q → (𝑥 <Q 𝑦 ↔ (𝑧𝐺𝑥) <Q (𝑧𝐺𝑦)))
28 vex 3198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑓 ∈ V
29 genpnnp.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥)
30 vex 3198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑔 ∈ V
3125, 26, 27, 28, 29, 30caovord3 6832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑣Q𝑓Q) ∧ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔)) → (𝑤 <Q 𝑓𝑔 <Q 𝑣))
3231anbi2d 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑣Q𝑓Q) ∧ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔)) → ((𝑓 <Q 𝑤𝑤 <Q 𝑓) ↔ (𝑓 <Q 𝑤𝑔 <Q 𝑣)))
3324, 32sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑓Q𝑤Q) ∧ (𝑔Q𝑣Q)) ∧ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔)) → ((𝑓 <Q 𝑤𝑤 <Q 𝑓) ↔ (𝑓 <Q 𝑤𝑔 <Q 𝑣)))
3420, 33mtbid 314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑓Q𝑤Q) ∧ (𝑔Q𝑣Q)) ∧ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔)) → ¬ (𝑓 <Q 𝑤𝑔 <Q 𝑣))
3534ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑓Q𝑤Q) ∧ (𝑔Q𝑣Q)) → ((𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔) → ¬ (𝑓 <Q 𝑤𝑔 <Q 𝑣)))
3635con2d 129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑓Q𝑤Q) ∧ (𝑔Q𝑣Q)) → ((𝑓 <Q 𝑤𝑔 <Q 𝑣) → ¬ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔)))
3714, 16, 36syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴P𝑓𝐴) ∧ 𝑤Q) ∧ ((𝐵P𝑔𝐵) ∧ 𝑣Q)) → ((𝑓 <Q 𝑤𝑔 <Q 𝑣) → ¬ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔)))
3812, 37syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴P𝑓𝐴) ∧ 𝑤Q) ∧ ((𝐵P𝑔𝐵) ∧ 𝑣Q)) → ((¬ 𝑤𝐴 ∧ ¬ 𝑣𝐵) → ¬ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔)))
3938an4s 868 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴P𝑓𝐴) ∧ (𝐵P𝑔𝐵)) ∧ (𝑤Q𝑣Q)) → ((¬ 𝑤𝐴 ∧ ¬ 𝑣𝐵) → ¬ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔)))
4039ex 450 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴P𝑓𝐴) ∧ (𝐵P𝑔𝐵)) → ((𝑤Q𝑣Q) → ((¬ 𝑤𝐴 ∧ ¬ 𝑣𝐵) → ¬ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔))))
4140an4s 868 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴P𝐵P) ∧ (𝑓𝐴𝑔𝐵)) → ((𝑤Q𝑣Q) → ((¬ 𝑤𝐴 ∧ ¬ 𝑣𝐵) → ¬ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔))))
4241ex 450 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴P𝐵P) → ((𝑓𝐴𝑔𝐵) → ((𝑤Q𝑣Q) → ((¬ 𝑤𝐴 ∧ ¬ 𝑣𝐵) → ¬ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔)))))
4342com24 95 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴P𝐵P) → ((¬ 𝑤𝐴 ∧ ¬ 𝑣𝐵) → ((𝑤Q𝑣Q) → ((𝑓𝐴𝑔𝐵) → ¬ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔)))))
4443imp32 449 . . . . . . . . . 10 (((𝐴P𝐵P) ∧ ((¬ 𝑤𝐴 ∧ ¬ 𝑣𝐵) ∧ (𝑤Q𝑣Q))) → ((𝑓𝐴𝑔𝐵) → ¬ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔)))
4544ralrimivv 2967 . . . . . . . . 9 (((𝐴P𝐵P) ∧ ((¬ 𝑤𝐴 ∧ ¬ 𝑣𝐵) ∧ (𝑤Q𝑣Q))) → ∀𝑓𝐴𝑔𝐵 ¬ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔))
46 ralnex 2989 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑔𝐵 ¬ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔) ↔ ¬ ∃𝑔𝐵 (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔))
4746ralbii 2977 . . . . . . . . . 10 (∀𝑓𝐴𝑔𝐵 ¬ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔) ↔ ∀𝑓𝐴 ¬ ∃𝑔𝐵 (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔))
48 ralnex 2989 . . . . . . . . . 10 (∀𝑓𝐴 ¬ ∃𝑔𝐵 (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔) ↔ ¬ ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔))
4947, 48bitri 264 . . . . . . . . 9 (∀𝑓𝐴𝑔𝐵 ¬ (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔) ↔ ¬ ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔))
5045, 49sylib 208 . . . . . . . 8 (((𝐴P𝐵P) ∧ ((¬ 𝑤𝐴 ∧ ¬ 𝑣𝐵) ∧ (𝑤Q𝑣Q))) → ¬ ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔))
51 genp.1 . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑤P, 𝑣P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦𝐺𝑧)})
52 genp.2 . . . . . . . . . 10 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦𝐺𝑧) ∈ Q)
5351, 52genpelv 9807 . . . . . . . . 9 ((𝐴P𝐵P) → ((𝑤𝐺𝑣) ∈ (𝐴𝐹𝐵) ↔ ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔)))
5453adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐴P𝐵P) ∧ ((¬ 𝑤𝐴 ∧ ¬ 𝑣𝐵) ∧ (𝑤Q𝑣Q))) → ((𝑤𝐺𝑣) ∈ (𝐴𝐹𝐵) ↔ ∃𝑓𝐴𝑔𝐵 (𝑤𝐺𝑣) = (𝑓𝐺𝑔)))
5550, 54mtbird 315 . . . . . . 7 (((𝐴P𝐵P) ∧ ((¬ 𝑤𝐴 ∧ ¬ 𝑣𝐵) ∧ (𝑤Q𝑣Q))) → ¬ (𝑤𝐺𝑣) ∈ (𝐴𝐹𝐵))
5655expcom 451 . . . . . 6 (((¬ 𝑤𝐴 ∧ ¬ 𝑣𝐵) ∧ (𝑤Q𝑣Q)) → ((𝐴P𝐵P) → ¬ (𝑤𝐺𝑣) ∈ (𝐴𝐹𝐵)))
5756ancoms 469 . . . . 5 (((𝑤Q𝑣Q) ∧ (¬ 𝑤𝐴 ∧ ¬ 𝑣𝐵)) → ((𝐴P𝐵P) → ¬ (𝑤𝐺𝑣) ∈ (𝐴𝐹𝐵)))
5857an4s 868 . . . 4 (((𝑤Q ∧ ¬ 𝑤𝐴) ∧ (𝑣Q ∧ ¬ 𝑣𝐵)) → ((𝐴P𝐵P) → ¬ (𝑤𝐺𝑣) ∈ (𝐴𝐹𝐵)))
5952caovcl 6813 . . . . . 6 ((𝑤Q𝑣Q) → (𝑤𝐺𝑣) ∈ Q)
60 eleq2 2688 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐹𝐵) = Q → ((𝑤𝐺𝑣) ∈ (𝐴𝐹𝐵) ↔ (𝑤𝐺𝑣) ∈ Q))
6160biimprcd 240 . . . . . . 7 ((𝑤𝐺𝑣) ∈ Q → ((𝐴𝐹𝐵) = Q → (𝑤𝐺𝑣) ∈ (𝐴𝐹𝐵)))
6261con3d 148 . . . . . 6 ((𝑤𝐺𝑣) ∈ Q → (¬ (𝑤𝐺𝑣) ∈ (𝐴𝐹𝐵) → ¬ (𝐴𝐹𝐵) = Q))
6359, 62syl 17 . . . . 5 ((𝑤Q𝑣Q) → (¬ (𝑤𝐺𝑣) ∈ (𝐴𝐹𝐵) → ¬ (𝐴𝐹𝐵) = Q))
6463ad2ant2r 782 . . . 4 (((𝑤Q ∧ ¬ 𝑤𝐴) ∧ (𝑣Q ∧ ¬ 𝑣𝐵)) → (¬ (𝑤𝐺𝑣) ∈ (𝐴𝐹𝐵) → ¬ (𝐴𝐹𝐵) = Q))
6558, 64syldc 48 . . 3 ((𝐴P𝐵P) → (((𝑤Q ∧ ¬ 𝑤𝐴) ∧ (𝑣Q ∧ ¬ 𝑣𝐵)) → ¬ (𝐴𝐹𝐵) = Q))
6665exlimdvv 1860 . 2 ((𝐴P𝐵P) → (∃𝑤𝑣((𝑤Q ∧ ¬ 𝑤𝐴) ∧ (𝑣Q ∧ ¬ 𝑣𝐵)) → ¬ (𝐴𝐹𝐵) = Q))
679, 66mpd 15 1 ((𝐴P𝐵P) → ¬ (𝐴𝐹𝐵) = Q)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wex 1702  wcel 1988  {cab 2606  wral 2909  wrex 2910  wpss 3568   class class class wbr 4644   Or wor 5024  (class class class)co 6635  cmpt2 6637  Qcnq 9659   <Q cltq 9665  Pcnp 9666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-oadd 7549  df-omul 7550  df-er 7727  df-ni 9679  df-mi 9681  df-lti 9682  df-ltpq 9717  df-enq 9718  df-nq 9719  df-ltnq 9725  df-np 9788
This theorem is referenced by:  genpcl  9815
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