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Theorem inttsk 9788
Description: The intersection of a collection of Tarski classes is a Tarski class. (Contributed by FL, 17-Apr-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
inttsk ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Tarski)

Proof of Theorem inttsk
Dummy variables 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 807 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → 𝐴 ⊆ Tarski)
21sselda 3744 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ 𝑡𝐴) → 𝑡 ∈ Tarski)
3 elinti 4637 . . . . . . . . 9 (𝑧 𝐴 → (𝑡𝐴𝑧𝑡))
43imp 444 . . . . . . . 8 ((𝑧 𝐴𝑡𝐴) → 𝑧𝑡)
54adantll 752 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ 𝑡𝐴) → 𝑧𝑡)
6 tskpwss 9766 . . . . . . 7 ((𝑡 ∈ Tarski ∧ 𝑧𝑡) → 𝒫 𝑧𝑡)
72, 5, 6syl2anc 696 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ 𝑡𝐴) → 𝒫 𝑧𝑡)
87ralrimiva 3104 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → ∀𝑡𝐴 𝒫 𝑧𝑡)
9 ssint 4645 . . . . 5 (𝒫 𝑧 𝐴 ↔ ∀𝑡𝐴 𝒫 𝑧𝑡)
108, 9sylibr 224 . . . 4 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → 𝒫 𝑧 𝐴)
11 tskpw 9767 . . . . . . 7 ((𝑡 ∈ Tarski ∧ 𝑧𝑡) → 𝒫 𝑧𝑡)
122, 5, 11syl2anc 696 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ 𝑡𝐴) → 𝒫 𝑧𝑡)
1312ralrimiva 3104 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → ∀𝑡𝐴 𝒫 𝑧𝑡)
14 vpwex 4998 . . . . . 6 𝒫 𝑧 ∈ V
1514elint2 4634 . . . . 5 (𝒫 𝑧 𝐴 ↔ ∀𝑡𝐴 𝒫 𝑧𝑡)
1613, 15sylibr 224 . . . 4 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → 𝒫 𝑧 𝐴)
1710, 16jca 555 . . 3 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → (𝒫 𝑧 𝐴 ∧ 𝒫 𝑧 𝐴))
1817ralrimiva 3104 . 2 ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑧 𝐴(𝒫 𝑧 𝐴 ∧ 𝒫 𝑧 𝐴))
19 elpwi 4312 . . . 4 (𝑧 ∈ 𝒫 𝐴𝑧 𝐴)
20 rexnal 3133 . . . . . . . 8 (∃𝑡𝐴 ¬ 𝑧𝑡 ↔ ¬ ∀𝑡𝐴 𝑧𝑡)
21 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
22 intex 4969 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ∈ V)
2321, 22sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ V)
2423ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝐴 ∈ V)
25 simplr 809 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝑧 𝐴)
26 ssdomg 8167 . . . . . . . . . . 11 ( 𝐴 ∈ V → (𝑧 𝐴𝑧 𝐴))
2724, 25, 26sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝑧 𝐴)
28 vex 3343 . . . . . . . . . . . 12 𝑡 ∈ V
29 intss1 4644 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡𝐴 𝐴𝑡)
3029ad2antrl 766 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝐴𝑡)
31 ssdomg 8167 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ V → ( 𝐴𝑡 𝐴𝑡))
3228, 30, 31mpsyl 68 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝐴𝑡)
33 simprr 813 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → ¬ 𝑧𝑡)
34 simplll 815 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝐴 ⊆ Tarski)
35 simprl 811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝑡𝐴)
3634, 35sseldd 3745 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝑡 ∈ Tarski)
3725, 30sstrd 3754 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝑧𝑡)
38 tsken 9768 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑡 ∈ Tarski ∧ 𝑧𝑡) → (𝑧𝑡𝑧𝑡))
3936, 37, 38syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → (𝑧𝑡𝑧𝑡))
4039ord 391 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → (¬ 𝑧𝑡𝑧𝑡))
4133, 40mt3d 140 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝑧𝑡)
4241ensymd 8172 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝑡𝑧)
43 domentr 8180 . . . . . . . . . . 11 (( 𝐴𝑡𝑡𝑧) → 𝐴𝑧)
4432, 42, 43syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝐴𝑧)
45 sbth 8245 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 𝐴 𝐴𝑧) → 𝑧 𝐴)
4627, 44, 45syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) ∧ (𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑧𝑡)) → 𝑧 𝐴)
4746rexlimdvaa 3170 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → (∃𝑡𝐴 ¬ 𝑧𝑡𝑧 𝐴))
4820, 47syl5bir 233 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → (¬ ∀𝑡𝐴 𝑧𝑡𝑧 𝐴))
4948con1d 139 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → (¬ 𝑧 𝐴 → ∀𝑡𝐴 𝑧𝑡))
50 vex 3343 . . . . . . 7 𝑧 ∈ V
5150elint2 4634 . . . . . 6 (𝑧 𝐴 ↔ ∀𝑡𝐴 𝑧𝑡)
5249, 51syl6ibr 242 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → (¬ 𝑧 𝐴𝑧 𝐴))
5352orrd 392 . . . 4 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 𝐴) → (𝑧 𝐴𝑧 𝐴))
5419, 53sylan2 492 . . 3 (((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑧 𝐴𝑧 𝐴))
5554ralrimiva 3104 . 2 ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝐴(𝑧 𝐴𝑧 𝐴))
56 eltsk2g 9765 . . 3 ( 𝐴 ∈ V → ( 𝐴 ∈ Tarski ↔ (∀𝑧 𝐴(𝒫 𝑧 𝐴 ∧ 𝒫 𝑧 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝐴(𝑧 𝐴𝑧 𝐴))))
5723, 56syl 17 . 2 ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ( 𝐴 ∈ Tarski ↔ (∀𝑧 𝐴(𝒫 𝑧 𝐴 ∧ 𝒫 𝑧 𝐴) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝐴(𝑧 𝐴𝑧 𝐴))))
5818, 55, 57mpbir2and 995 1 ((𝐴 ⊆ Tarski ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Tarski)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  Vcvv 3340  wss 3715  c0 4058  𝒫 cpw 4302   cint 4627   class class class wbr 4804  cen 8118  cdom 8119  Tarskictsk 9762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-br 4805  df-opab 4865  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-tsk 9763
This theorem is referenced by:  tskmcl  9855
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