Theorem domentr 8568

Description: Transitivity of dominance and equinumerosity. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
domentr	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem domentr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 8536	. 2 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐶 → 𝐵 ≼ 𝐶)
2		domtr 8562	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan2 594	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   class class class wbr 5066   ≈ cen 8506   ≼ cdom 8507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-f1o 6362  df-en 8510  df-dom 8511

This theorem is referenced by:  domdifsn  8600  xpdom1g  8614  domunsncan  8617  sdomdomtr  8650  domen2  8660  mapdom2  8688  php  8701  unxpdom2  8726  sucxpdom  8727  xpfir  8740  fodomfi  8797  cardsdomelir  9402  infxpenlem  9439  xpct  9442  infpwfien  9488  inffien  9489  mappwen  9538  iunfictbso  9540  djuxpdom  9611  cdainflem  9613  djuinf  9614  djulepw  9618  ficardun2  9625  unctb  9627  infdjuabs  9628  infunabs  9629  infdju  9630  infdif  9631  infxpdom  9633  pwdjudom  9638  infmap2  9640  fictb  9667  cfslb  9688  fin1a2lem11  9832  fnct  9959  unirnfdomd  9989  iunctb  9996  alephreg  10004  cfpwsdom  10006  gchdomtri  10051  canthp1lem1  10074  pwfseqlem5  10085  pwxpndom  10088  gchdjuidm  10090  gchxpidm  10091  gchpwdom  10092  gchhar  10101  inttsk  10196  inar1  10197  tskcard  10203  znnen  15565  qnnen  15566  rpnnen  15580  rexpen  15581  aleph1irr  15599  cygctb  19012  1stcfb  22053  2ndcredom  22058  2ndcctbss  22063  hauspwdom  22109  tx2ndc  22259  met1stc  23131  met2ndci  23132  re2ndc  23409  opnreen  23439  ovolctb2  24093  ovolfi  24095  uniiccdif  24179  dyadmbl  24201  opnmblALT  24204  vitali  24214  mbfimaopnlem  24256  mbfsup  24265  aannenlem3  24919  dmvlsiga  31388  sigapildsys  31421  omssubadd  31558  carsgclctunlem3  31578  finminlem  33666  phpreu  34891  lindsdom  34901  mblfinlem1  34944  pellexlem4  39449  pellexlem5  39450  pr2dom  39913  tr3dom  39914  nnfoctb  41329  ioonct  41833  subsaliuncl  42661  caragenunicl  42826  aacllem  44922