MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domentr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domentr 8000
Description: Transitivity of dominance and equinumerosity. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
domentr ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem domentr
StepHypRef Expression
1 endom 7967 . 2 (𝐵𝐶𝐵𝐶)
2 domtr 7994 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
31, 2sylan2 491 1 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   class class class wbr 4644  cen 7937  cdom 7938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-f1o 5883  df-en 7941  df-dom 7942
This theorem is referenced by:  domdifsn  8028  xpdom1g  8042  domunsncan  8045  sdomdomtr  8078  domen2  8088  mapdom2  8116  php  8129  unxpdom2  8153  sucxpdom  8154  xpfir  8167  fodomfi  8224  cardsdomelir  8784  infxpenlem  8821  xpct  8824  infpwfien  8870  inffien  8871  mappwen  8920  iunfictbso  8922  cdaxpdom  8996  cdainflem  8998  cdainf  8999  cdalepw  9003  ficardun2  9010  unctb  9012  infcdaabs  9013  infunabs  9014  infcda  9015  infdif  9016  infxpdom  9018  pwcdadom  9023  infmap2  9025  fictb  9052  cfslb  9073  fin1a2lem11  9217  fnct  9344  unirnfdomd  9374  iunctb  9381  alephreg  9389  cfpwsdom  9391  gchdomtri  9436  canthp1lem1  9459  pwfseqlem5  9470  pwxpndom  9473  gchcdaidm  9475  gchxpidm  9476  gchpwdom  9477  gchhar  9486  inttsk  9581  inar1  9582  tskcard  9588  znnen  14922  qnnen  14923  rpnnen  14937  rexpen  14938  aleph1irr  14956  cygctb  18274  1stcfb  21229  2ndcredom  21234  2ndcctbss  21239  hauspwdom  21285  tx1stc  21434  tx2ndc  21435  met1stc  22307  met2ndci  22308  re2ndc  22585  opnreen  22615  ovolctb2  23241  ovolfi  23243  uniiccdif  23327  dyadmbl  23349  opnmblALT  23352  vitali  23363  mbfimaopnlem  23403  mbfsup  23412  aannenlem3  24066  dmvlsiga  30166  sigapildsys  30199  omssubadd  30336  carsgclctunlem3  30356  finminlem  32287  phpreu  33364  lindsdom  33374  mblfinlem1  33417  pellexlem4  37215  pellexlem5  37216  nnfoctb  39033  ioonct  39567  subsaliuncl  40339  caragenunicl  40501  aacllem  42312
  Copyright terms: Public domain W3C validator