MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islss 18983
Description: The predicate "is a subspace" (of a left module or left vector space). (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssset.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lssset.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
lssset.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssset.p + = (+g𝑊)
lssset.t · = ( ·𝑠𝑊)
lssset.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
islss (𝑈𝑆 ↔ (𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑎,𝑏,𝑥,𝑊   𝑈,𝑎,𝑏,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎,𝑏)   + (𝑥,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑥,𝑎,𝑏)   · (𝑥,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑥,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑥,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem islss
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 6259 . . 3 (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) → 𝑊 ∈ V)
2 lssset.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
31, 2eleq2s 2748 . 2 (𝑈𝑆𝑊 ∈ V)
4 lssset.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 fvprc 6223 . . . . . . . . 9 𝑊 ∈ V → (Base‘𝑊) = ∅)
64, 5syl5eq 2697 . . . . . . . 8 𝑊 ∈ V → 𝑉 = ∅)
76sseq2d 3666 . . . . . . 7 𝑊 ∈ V → (𝑈𝑉𝑈 ⊆ ∅))
87biimpcd 239 . . . . . 6 (𝑈𝑉 → (¬ 𝑊 ∈ V → 𝑈 ⊆ ∅))
9 ss0 4007 . . . . . 6 (𝑈 ⊆ ∅ → 𝑈 = ∅)
108, 9syl6 35 . . . . 5 (𝑈𝑉 → (¬ 𝑊 ∈ V → 𝑈 = ∅))
1110necon1ad 2840 . . . 4 (𝑈𝑉 → (𝑈 ≠ ∅ → 𝑊 ∈ V))
1211imp 444 . . 3 ((𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅) → 𝑊 ∈ V)
13123adant3 1101 . 2 ((𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ V)
14 lssset.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
15 lssset.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐹)
16 lssset.p . . . . 5 + = (+g𝑊)
17 lssset.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
1814, 15, 4, 16, 17, 2lssset 18982 . . . 4 (𝑊 ∈ V → 𝑆 = {𝑠 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∀𝑥𝐵𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠})
1918eleq2d 2716 . . 3 (𝑊 ∈ V → (𝑈𝑆𝑈 ∈ {𝑠 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∀𝑥𝐵𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠}))
20 eldifsn 4350 . . . . . 6 (𝑈 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ↔ (𝑈 ∈ 𝒫 𝑉𝑈 ≠ ∅))
21 fvex 6239 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑊) ∈ V
224, 21eqeltri 2726 . . . . . . . 8 𝑉 ∈ V
2322elpw2 4858 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ 𝒫 𝑉𝑈𝑉)
2423anbi1i 731 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ 𝒫 𝑉𝑈 ≠ ∅) ↔ (𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅))
2520, 24bitri 264 . . . . 5 (𝑈 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ↔ (𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅))
2625anbi1i 731 . . . 4 ((𝑈 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈) ↔ ((𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅) ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
27 eleq2 2719 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑈 → (((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
2827raleqbi1dv 3176 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑈 → (∀𝑏𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ∀𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
2928raleqbi1dv 3176 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑈 → (∀𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ∀𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
3029ralbidv 3015 . . . . 5 (𝑠 = 𝑈 → (∀𝑥𝐵𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
3130elrab 3396 . . . 4 (𝑈 ∈ {𝑠 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∀𝑥𝐵𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠} ↔ (𝑈 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
32 df-3an 1056 . . . 4 ((𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈) ↔ ((𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅) ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
3326, 31, 323bitr4i 292 . . 3 (𝑈 ∈ {𝑠 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∀𝑥𝐵𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠} ↔ (𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
3419, 33syl6bb 276 . 2 (𝑊 ∈ V → (𝑈𝑆 ↔ (𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)))
353, 13, 34pm5.21nii 367 1 (𝑈𝑆 ↔ (𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  {crab 2945  Vcvv 3231  cdif 3604  wss 3607  c0 3948  𝒫 cpw 4191  {csn 4210  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  Scalarcsca 15991   ·𝑠 cvsca 15992  LSubSpclss 18980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fv 5934  df-ov 6693  df-lss 18981
This theorem is referenced by:  islssd  18984  lssss  18985  lssn0  18989  lsscl  18991  islss4  19010  lsspropd  19065  islidl  19259  ocvlss  20064  lkrlss  34700  lclkr  37139  lclkrs  37145  lcfr  37191
  Copyright terms: Public domain W3C validator