Theorem latnlemlt 17694

Description: Negation of "less than or equal to" expressed in terms of meet and less-than. (nssinpss 4233 analog.) (Contributed by NM, 5-Feb-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
latnlemlt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latnlemlt.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latnlemlt.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
latnlemlt.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latnlemlt	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) < 𝑋))

Proof of Theorem latnlemlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latnlemlt.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latnlemlt.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latnlemlt.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4	1, 2, 3	latmle1 17686	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋)
5	4	biantrurd 535	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 𝑋 ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 𝑋)))
6	1, 2, 3	latleeqm1 17689	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋))
7	6	necon3bbid 3053	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 𝑋))
8		simp1 1132	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
9	1, 3	latmcl 17662	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
10		simp2 1133	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		latnlemlt.s	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
12	2, 11	pltval 17570	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌) < 𝑋 ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 𝑋)))
13	8, 9, 10, 12	syl3anc 1367	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌) < 𝑋 ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 𝑋)))
14	5, 7, 13	3bitr4d 313	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) < 𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Basecbs 16483  lecple 16572  ltcplt 17551  meetcmee 17555  Latclat 17655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-proset 17538  df-poset 17556  df-plt 17568  df-lub 17584  df-glb 17585  df-join 17586  df-meet 17587  df-lat 17656

This theorem is referenced by:  hlrelat2  36554