MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latnle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latnle 17001
Description: Equivalent expressions for "not less than" in a lattice. (chnle 28213 analog.) (Contributed by NM, 16-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latnle.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latnle.l = (le‘𝐾)
latnle.s < = (lt‘𝐾)
latnle.j = (join‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latnle ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (¬ 𝑌 𝑋𝑋 < (𝑋 𝑌)))

Proof of Theorem latnle
StepHypRef Expression
1 latnle.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 latnle.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 latnle.j . . . 4 = (join‘𝐾)
41, 2, 3latlej1 16976 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋 (𝑋 𝑌))
54biantrurd 529 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 ≠ (𝑋 𝑌) ↔ (𝑋 (𝑋 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 𝑌))))
61, 2, 3latleeqj1 16979 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (𝑌 𝑋 ↔ (𝑌 𝑋) = 𝑋))
763com23 1268 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑌 𝑋 ↔ (𝑌 𝑋) = 𝑋))
8 eqcom 2633 . . . . 5 ((𝑌 𝑋) = 𝑋𝑋 = (𝑌 𝑋))
97, 8syl6bb 276 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑌 𝑋𝑋 = (𝑌 𝑋)))
101, 3latjcom 16975 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑋))
1110eqeq2d 2636 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 = (𝑋 𝑌) ↔ 𝑋 = (𝑌 𝑋)))
129, 11bitr4d 271 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑌 𝑋𝑋 = (𝑋 𝑌)))
1312necon3bbid 2833 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (¬ 𝑌 𝑋𝑋 ≠ (𝑋 𝑌)))
141, 3latjcl 16967 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
15 latnle.s . . . 4 < = (lt‘𝐾)
162, 15pltval 16876 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 < (𝑋 𝑌) ↔ (𝑋 (𝑋 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 𝑌))))
1714, 16syld3an3 1368 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < (𝑋 𝑌) ↔ (𝑋 (𝑋 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 𝑌))))
185, 13, 173bitr4d 300 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (¬ 𝑌 𝑋𝑋 < (𝑋 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796   class class class wbr 4618  cfv 5850  (class class class)co 6605  Basecbs 15776  lecple 15864  ltcplt 16857  joincjn 16860  Latclat 16961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-preset 16844  df-poset 16862  df-plt 16874  df-lub 16890  df-glb 16891  df-join 16892  df-meet 16893  df-lat 16962
This theorem is referenced by:  cvlcvr1  34092  hlrelat  34154  hlrelat2  34155  cvr2N  34163  cvrexchlem  34171
  Copyright terms: Public domain W3C validator