Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latnle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latnle 17132
 Description: Equivalent expressions for "not less than" in a lattice. (chnle 28501 analog.) (Contributed by NM, 16-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latnle.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latnle.l = (le‘𝐾)
latnle.s < = (lt‘𝐾)
latnle.j = (join‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latnle ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (¬ 𝑌 𝑋𝑋 < (𝑋 𝑌)))

Proof of Theorem latnle
StepHypRef Expression
1 latnle.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 latnle.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 latnle.j . . . 4 = (join‘𝐾)
41, 2, 3latlej1 17107 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋 (𝑋 𝑌))
54biantrurd 528 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 ≠ (𝑋 𝑌) ↔ (𝑋 (𝑋 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 𝑌))))
61, 2, 3latleeqj1 17110 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (𝑌 𝑋 ↔ (𝑌 𝑋) = 𝑋))
763com23 1291 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑌 𝑋 ↔ (𝑌 𝑋) = 𝑋))
8 eqcom 2658 . . . . 5 ((𝑌 𝑋) = 𝑋𝑋 = (𝑌 𝑋))
97, 8syl6bb 276 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑌 𝑋𝑋 = (𝑌 𝑋)))
101, 3latjcom 17106 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑋))
1110eqeq2d 2661 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 = (𝑋 𝑌) ↔ 𝑋 = (𝑌 𝑋)))
129, 11bitr4d 271 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑌 𝑋𝑋 = (𝑋 𝑌)))
1312necon3bbid 2860 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (¬ 𝑌 𝑋𝑋 ≠ (𝑋 𝑌)))
141, 3latjcl 17098 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
15 latnle.s . . . 4 < = (lt‘𝐾)
162, 15pltval 17007 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 < (𝑋 𝑌) ↔ (𝑋 (𝑋 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 𝑌))))
1714, 16syld3an3 1411 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < (𝑋 𝑌) ↔ (𝑋 (𝑋 𝑌) ∧ 𝑋 ≠ (𝑋 𝑌))))
185, 13, 173bitr4d 300 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (¬ 𝑌 𝑋𝑋 < (𝑋 𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  lecple 15995  ltcplt 16988  joincjn 16991  Latclat 17092 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-lat 17093 This theorem is referenced by:  cvlcvr1  34944  hlrelat  35006  hlrelat2  35007  cvr2N  35015  cvrexchlem  35023
 Copyright terms: Public domain W3C validator