MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latleeqm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latleeqm1 17280
Description: Less-than-or-equal-to in terms of meet. (Contributed by NM, 7-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmle.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmle.l = (le‘𝐾)
latmle.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latleeqm1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌) = 𝑋))

Proof of Theorem latleeqm1
StepHypRef Expression
1 latmle.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 latmle.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
31, 2latref 17254 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋 𝑋)
433adant3 1127 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋 𝑋)
54biantrurd 530 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝑋 𝑋𝑋 𝑌)))
6 simp1 1131 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
7 simp2 1132 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋𝐵)
8 simp3 1133 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌𝐵)
9 latmle.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
101, 2, 9latlem12 17279 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋 𝑋𝑋 𝑌) ↔ 𝑋 (𝑋 𝑌)))
116, 7, 7, 8, 10syl13anc 1479 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑋𝑋 𝑌) ↔ 𝑋 (𝑋 𝑌)))
125, 11bitrd 268 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌𝑋 (𝑋 𝑌)))
131, 2, 9latmle1 17277 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) 𝑋)
1413biantrurd 530 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 (𝑋 𝑌) ↔ ((𝑋 𝑌) 𝑋𝑋 (𝑋 𝑌))))
1512, 14bitrd 268 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 ↔ ((𝑋 𝑌) 𝑋𝑋 (𝑋 𝑌))))
16 latpos 17251 . . . 4 (𝐾 ∈ Lat → 𝐾 ∈ Poset)
17163ad2ant1 1128 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
181, 9latmcl 17253 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
191, 2posasymb 17153 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → (((𝑋 𝑌) 𝑋𝑋 (𝑋 𝑌)) ↔ (𝑋 𝑌) = 𝑋))
2017, 18, 7, 19syl3anc 1477 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (((𝑋 𝑌) 𝑋𝑋 (𝑋 𝑌)) ↔ (𝑋 𝑌) = 𝑋))
2115, 20bitrd 268 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌) = 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  lecple 16150  Posetcpo 17141  meetcmee 17146  Latclat 17246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-preset 17129  df-poset 17147  df-lub 17175  df-glb 17176  df-join 17177  df-meet 17178  df-lat 17247
This theorem is referenced by:  latleeqm2  17281  latnlemlt  17285  latabs2  17289  atnle  35107  2llnmat  35313  llnmlplnN  35328  dalem25  35487  2lnat  35573  lhpm0atN  35818  lhpmatb  35820  cdleme1  36017  cdleme5  36030  cdleme20d  36102  cdleme22e  36134  cdleme22eALTN  36135  cdleme23b  36140  cdleme32e  36235  doca2N  36917  djajN  36928  dihglblem5aN  37083  dihmeetbclemN  37095
  Copyright terms: Public domain W3C validator