Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrnlaut Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrnlaut 37141
Description: A lattice translation is a lattice automorphism. (Contributed by NM, 20-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnlaut.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnlaut.i 𝐼 = (LAut‘𝐾)
ltrnlaut.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrnlaut (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝐼)

Proof of Theorem ltrnlaut
StepHypRef Expression
1 ltrnlaut.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 eqid 2821 . . 3 ((LDil‘𝐾)‘𝑊) = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
3 ltrnlaut.t . . 3 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
41, 2, 3ltrnldil 37140 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹 ∈ ((LDil‘𝐾)‘𝑊))
5 ltrnlaut.i . . 3 𝐼 = (LAut‘𝐾)
61, 5, 2ldillaut 37129 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹 ∈ ((LDil‘𝐾)‘𝑊)) → 𝐹𝐼)
74, 6syldan 591 1 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6349  LHypclh 37002  LAutclaut 37003  LDilcldil 37118  LTrncltrn 37119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pr 5321
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7148  df-ldil 37122  df-ltrn 37123
This theorem is referenced by:  ltrn1o  37142  ltrncl  37143  ltrn11  37144  ltrnle  37147  ltrncnvleN  37148  ltrnm  37149  ltrnj  37150  ltrncvr  37151  ltrnid  37153  ltrneq2  37166
  Copyright terms: Public domain W3C validator