Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrnlaut Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrnlaut 34230
Description: A lattice translation is a lattice automorphism. (Contributed by NM, 20-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnlaut.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnlaut.i 𝐼 = (LAut‘𝐾)
ltrnlaut.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrnlaut (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝐼)

Proof of Theorem ltrnlaut
StepHypRef Expression
1 ltrnlaut.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 eqid 2609 . . 3 ((LDil‘𝐾)‘𝑊) = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
3 ltrnlaut.t . . 3 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
41, 2, 3ltrnldil 34229 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹 ∈ ((LDil‘𝐾)‘𝑊))
5 ltrnlaut.i . . 3 𝐼 = (LAut‘𝐾)
61, 5, 2ldillaut 34218 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹 ∈ ((LDil‘𝐾)‘𝑊)) → 𝐹𝐼)
74, 6syldan 485 1 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  cfv 5790  LHypclh 34091  LAutclaut 34092  LDilcldil 34207  LTrncltrn 34208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pr 4828
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-ldil 34211  df-ltrn 34212
This theorem is referenced by:  ltrn1o  34231  ltrncl  34232  ltrn11  34233  ltrnle  34236  ltrncnvleN  34237  ltrnm  34238  ltrnj  34239  ltrncvr  34240  ltrnid  34242  ltrneq2  34255
  Copyright terms: Public domain W3C validator