Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrn1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrn1o 34211
Description: A lattice translation is a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 20-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrn1o.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrn1o.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrn1o.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrn1o (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)

Proof of Theorem ltrn1o
StepHypRef Expression
1 simpll 785 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐾𝑉)
2 ltrn1o.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 eqid 2609 . . 3 (LAut‘𝐾) = (LAut‘𝐾)
4 ltrn1o.t . . 3 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
52, 3, 4ltrnlaut 34210 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
6 ltrn1o.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
76, 3laut1o 34172 . 2 ((𝐾𝑉𝐹 ∈ (LAut‘𝐾)) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
81, 5, 7syl2anc 690 1 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  1-1-ontowf1o 5788  cfv 5789  Basecbs 15643  LHypclh 34071  LAutclaut 34072  LTrncltrn 34188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4942  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-map 7723  df-laut 34076  df-ldil 34191  df-ltrn 34192
This theorem is referenced by:  ltrncnvnid  34214  ltrncoidN  34215  ltrnid  34222  ltrncnvatb  34225  ltrncnvel  34229  ltrncoval  34232  ltrncnv  34233  ltrneq2  34235  trlcnv  34253  ltrniotacnvval  34671  cdlemg17h  34757  trlcoabs2N  34811  trlcoat  34812  trlcone  34817  cdlemg47a  34823  cdlemg46  34824  cdlemg47  34825  trljco  34829  tgrpgrplem  34838  tendo0pl  34880  tendoipl  34886  cdlemi2  34908  cdlemk2  34921  cdlemk4  34923  cdlemk8  34927  cdlemkid2  35013  cdlemk45  35036  cdlemk53b  35045  cdlemk53  35046  cdlemk55a  35048  tendocnv  35111  dvhgrp  35197  dvhopN  35206  cdlemn3  35287  cdlemn8  35294  cdlemn9  35295  dihordlem7b  35305  dihopelvalcpre  35338  dihmeetlem1N  35380  dihglblem5apreN  35381
  Copyright terms: Public domain W3C validator