Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrn1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrn1o 37142
Description: A lattice translation is a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 20-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrn1o.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrn1o.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrn1o.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrn1o (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)

Proof of Theorem ltrn1o
StepHypRef Expression
1 simpll 763 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐾𝑉)
2 ltrn1o.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 eqid 2821 . . 3 (LAut‘𝐾) = (LAut‘𝐾)
4 ltrn1o.t . . 3 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
52, 3, 4ltrnlaut 37141 . 2 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
6 ltrn1o.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
76, 3laut1o 37103 . 2 ((𝐾𝑉𝐹 ∈ (LAut‘𝐾)) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
81, 5, 7syl2anc 584 1 (((𝐾𝑉𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  1-1-ontowf1o 6348  cfv 6349  Basecbs 16473  LHypclh 37002  LAutclaut 37003  LTrncltrn 37119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-map 8398  df-laut 37007  df-ldil 37122  df-ltrn 37123
This theorem is referenced by:  ltrncnvnid  37145  ltrncoidN  37146  ltrnid  37153  ltrncnvatb  37156  ltrncnvel  37160  ltrncoval  37163  ltrncnv  37164  ltrneq2  37166  trlcnv  37183  ltrniotacnvval  37600  cdlemg17h  37686  trlcoabs2N  37740  trlcoat  37741  trlcone  37746  cdlemg47a  37752  cdlemg46  37753  cdlemg47  37754  trljco  37758  tgrpgrplem  37767  tendo0pl  37809  tendoipl  37815  cdlemi2  37837  cdlemk2  37850  cdlemk4  37852  cdlemk8  37856  cdlemkid2  37942  cdlemk45  37965  cdlemk53b  37974  cdlemk53  37975  cdlemk55a  37977  tendocnv  38039  dvhgrp  38125  dvhopN  38134  cdlemn3  38215  cdlemn8  38222  cdlemn9  38223  dihordlem7b  38233  dihopelvalcpre  38266  dihmeetlem1N  38308  dihglblem5apreN  38309
  Copyright terms: Public domain W3C validator