Theorem omlsilem 28389

Description: Lemma for orthomodular law in the Hilbert lattice. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
omlsilem.1	⊢ 𝐺 ∈ Sℋ
omlsilem.2	⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
omlsilem.3	⊢ 𝐺 ⊆ 𝐻
omlsilem.4	⊢ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)) = 0ℋ
omlsilem.5	⊢ 𝐴 ∈ 𝐻
omlsilem.6	⊢ 𝐵 ∈ 𝐺
omlsilem.7	⊢ 𝐶 ∈ (⊥‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
omlsilem	⊢ (𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐺)

Proof of Theorem omlsilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omlsilem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
2		omlsilem.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ∈ 𝐻
3	1, 2	shelii 28200	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
4		omlsilem.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 ∈ Sℋ
5		omlsilem.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ 𝐺
6	4, 5	shelii 28200	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
7		shocss 28273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐺) ⊆ ℋ)
8	4, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊥‘𝐺) ⊆ ℋ
9		omlsilem.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 ∈ (⊥‘𝐺)
10	8, 9	sselii 3633	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
11	3, 6, 10	hvsubaddi 28051	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐴)
12		eqcom 2658	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐴 ↔ 𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶))
13	11, 12	bitri 264	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ 𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶))
14		omlsilem.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 ⊆ 𝐻
15	14, 5	sselii 3633	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ 𝐻
16		shsubcl 28205	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ 𝐻 ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ 𝐻)
17	1, 2, 15, 16	mp3an 1464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ 𝐻
18		eleq1 2718	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 → ((𝐴 −ℎ 𝐵) ∈ 𝐻 ↔ 𝐶 ∈ 𝐻))
19	17, 18	mpbii 223	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 → 𝐶 ∈ 𝐻)
20	13, 19	sylbir 225	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶) → 𝐶 ∈ 𝐻)
21		omlsilem.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)) = 0ℋ
22	21	eleq2i 2722	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)) ↔ 𝐶 ∈ 0ℋ)
23		elin 3829	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐺)) ↔ (𝐶 ∈ 𝐻 ∧ 𝐶 ∈ (⊥‘𝐺)))
24		elch0 28239	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 0ℋ ↔ 𝐶 = 0ℎ)
25	22, 23, 24	3bitr3i 290	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐻 ∧ 𝐶 ∈ (⊥‘𝐺)) ↔ 𝐶 = 0ℎ)
26	20, 9, 25	sylanblc 697	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶) → 𝐶 = 0ℎ)
27	26	oveq2d 6706	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶) → (𝐵 +ℎ 𝐶) = (𝐵 +ℎ 0ℎ))
28		ax-hvaddid 27989	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 +ℎ 0ℎ) = 𝐵)
29	6, 28	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐵 +ℎ 0ℎ) = 𝐵
30	27, 29	syl6eq 2701	. . 3 ⊢ (𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶) → (𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐵)
31	30, 5	syl6eqel 2738	. 2 ⊢ (𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶) → (𝐵 +ℎ 𝐶) ∈ 𝐺)
32		eleq1 2718	. 2 ⊢ (𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶) → (𝐴 ∈ 𝐺 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) ∈ 𝐺))
33	31, 32	mpbird 247	1 ⊢ (𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ℋchil 27904   +_ℎ cva 27905  0_ℎc0v 27909   −_ℎ cmv 27910   S_ℋ csh 27913  ⊥cort 27915  0_ℋc0h 27920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-hilex 27984  ax-hfvadd 27985  ax-hvcom 27986  ax-hvass 27987  ax-hv0cl 27988  ax-hvaddid 27989  ax-hfvmul 27990  ax-hvmulid 27991  ax-hvdistr2 27994  ax-hvmul0 27995  ax-hfi 28064  ax-his2 28068  ax-his3 28069

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-sub 10306  df-neg 10307  df-hvsub 27956  df-sh 28192  df-oc 28237  df-ch0 28238

This theorem is referenced by:  omlsii  28390