Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pexmidlem4N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pexmidlem4N 34073
Description: Lemma for pexmidN 34069. (Contributed by NM, 2-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pexmidlem.l = (le‘𝐾)
pexmidlem.j = (join‘𝐾)
pexmidlem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pexmidlem.p + = (+𝑃𝐾)
pexmidlem.o = (⊥𝑃𝐾)
pexmidlem.m 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
Assertion
Ref Expression
pexmidlem4N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝐾,𝑞   𝑀,𝑞   ,𝑞   + ,𝑞   𝑋,𝑞   𝑞,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   + (𝑝)   (𝑞,𝑝)   𝐾(𝑝)   (𝑞,𝑝)   𝑀(𝑝)   (𝑝)   𝑋(𝑝)

Proof of Theorem pexmidlem4N
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1056 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝐾 ∈ HL)
2 hllat 33464 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
31, 2syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simpl2 1057 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑋𝐴)
5 simpl3 1058 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑝𝐴)
6 simprl 789 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑋 ≠ ∅)
7 inss2 3795 . . . . . 6 (( 𝑋) ∩ 𝑀) ⊆ 𝑀
87sseli 3563 . . . . 5 (𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀) → 𝑞𝑀)
9 pexmidlem.m . . . . 5 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
108, 9syl6eleq 2697 . . . 4 (𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀) → 𝑞 ∈ (𝑋 + {𝑝}))
1110ad2antll 760 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑞 ∈ (𝑋 + {𝑝}))
12 pexmidlem.l . . . 4 = (le‘𝐾)
13 pexmidlem.j . . . 4 = (join‘𝐾)
14 pexmidlem.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
15 pexmidlem.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
1612, 13, 14, 15elpaddatiN 33905 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (𝑋 + {𝑝}))) → ∃𝑟𝑋 𝑞 (𝑟 𝑝))
173, 4, 5, 6, 11, 16syl32anc 1325 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀))) → ∃𝑟𝑋 𝑞 (𝑟 𝑝))
18 simp1 1053 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀)) ∧ (𝑟𝑋𝑞 (𝑟 𝑝))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴))
19 simp3l 1081 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀)) ∧ (𝑟𝑋𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑟𝑋)
20 inss1 3794 . . . . . . 7 (( 𝑋) ∩ 𝑀) ⊆ ( 𝑋)
21 simp2r 1080 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀)) ∧ (𝑟𝑋𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀))
2220, 21sseldi 3565 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀)) ∧ (𝑟𝑋𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑞 ∈ ( 𝑋))
23 simp3r 1082 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀)) ∧ (𝑟𝑋𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑞 (𝑟 𝑝))
24 pexmidlem.o . . . . . . 7 = (⊥𝑃𝐾)
2512, 13, 14, 15, 24, 9pexmidlem3N 34072 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋)) ∧ 𝑞 (𝑟 𝑝)) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))
2618, 19, 22, 23, 25syl121anc 1322 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀)) ∧ (𝑟𝑋𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))
27263expia 1258 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀))) → ((𝑟𝑋𝑞 (𝑟 𝑝)) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋))))
2827expd 450 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀))) → (𝑟𝑋 → (𝑞 (𝑟 𝑝) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))))
2928rexlimdv 3011 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀))) → (∃𝑟𝑋 𝑞 (𝑟 𝑝) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋))))
3017, 29mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wrex 2896  cin 3538  wss 3539  c0 3873  {csn 4124   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  lecple 15721  joincjn 16713  Latclat 16814  Atomscatm 33364  HLchlt 33451  +𝑃cpadd 33895  𝑃cpolN 34002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-riotaBAD 33053
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-undef 7263  df-preset 16697  df-poset 16715  df-plt 16727  df-lub 16743  df-glb 16744  df-join 16745  df-meet 16746  df-p0 16808  df-p1 16809  df-lat 16815  df-clat 16877  df-oposet 33277  df-ol 33279  df-oml 33280  df-covers 33367  df-ats 33368  df-atl 33399  df-cvlat 33423  df-hlat 33452  df-psubsp 33603  df-pmap 33604  df-padd 33896  df-polarityN 34003
This theorem is referenced by:  pexmidlem5N  34074
  Copyright terms: Public domain W3C validator