Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pexmidlem4N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pexmidlem4N 35577
Description: Lemma for pexmidN 35573. (Contributed by NM, 2-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pexmidlem.l = (le‘𝐾)
pexmidlem.j = (join‘𝐾)
pexmidlem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pexmidlem.p + = (+𝑃𝐾)
pexmidlem.o = (⊥𝑃𝐾)
pexmidlem.m 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
Assertion
Ref Expression
pexmidlem4N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝐾,𝑞   𝑀,𝑞   ,𝑞   + ,𝑞   𝑋,𝑞   𝑞,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   + (𝑝)   (𝑞,𝑝)   𝐾(𝑝)   (𝑞,𝑝)   𝑀(𝑝)   (𝑝)   𝑋(𝑝)

Proof of Theorem pexmidlem4N
Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1084 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝐾 ∈ HL)
2 hllat 34968 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
31, 2syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simpl2 1085 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑋𝐴)
5 simpl3 1086 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑝𝐴)
6 simprl 809 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑋 ≠ ∅)
7 inss2 3867 . . . . . 6 (( 𝑋) ∩ 𝑀) ⊆ 𝑀
87sseli 3632 . . . . 5 (𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀) → 𝑞𝑀)
9 pexmidlem.m . . . . 5 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
108, 9syl6eleq 2740 . . . 4 (𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀) → 𝑞 ∈ (𝑋 + {𝑝}))
1110ad2antll 765 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑞 ∈ (𝑋 + {𝑝}))
12 pexmidlem.l . . . 4 = (le‘𝐾)
13 pexmidlem.j . . . 4 = (join‘𝐾)
14 pexmidlem.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
15 pexmidlem.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
1612, 13, 14, 15elpaddatiN 35409 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (𝑋 + {𝑝}))) → ∃𝑟𝑋 𝑞 (𝑟 𝑝))
173, 4, 5, 6, 11, 16syl32anc 1374 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀))) → ∃𝑟𝑋 𝑞 (𝑟 𝑝))
18 simp1 1081 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀)) ∧ (𝑟𝑋𝑞 (𝑟 𝑝))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴))
19 simp3l 1109 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀)) ∧ (𝑟𝑋𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑟𝑋)
20 inss1 3866 . . . . . . 7 (( 𝑋) ∩ 𝑀) ⊆ ( 𝑋)
21 simp2r 1108 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀)) ∧ (𝑟𝑋𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀))
2220, 21sseldi 3634 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀)) ∧ (𝑟𝑋𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑞 ∈ ( 𝑋))
23 simp3r 1110 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀)) ∧ (𝑟𝑋𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑞 (𝑟 𝑝))
24 pexmidlem.o . . . . . . 7 = (⊥𝑃𝐾)
2512, 13, 14, 15, 24, 9pexmidlem3N 35576 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋)) ∧ 𝑞 (𝑟 𝑝)) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))
2618, 19, 22, 23, 25syl121anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀)) ∧ (𝑟𝑋𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))
27263expia 1286 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀))) → ((𝑟𝑋𝑞 (𝑟 𝑝)) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋))))
2827expd 451 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀))) → (𝑟𝑋 → (𝑞 (𝑟 𝑝) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))))
2928rexlimdv 3059 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀))) → (∃𝑟𝑋 𝑞 (𝑟 𝑝) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋))))
3017, 29mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑞 ∈ (( 𝑋) ∩ 𝑀))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  cin 3606  wss 3607  c0 3948  {csn 4210   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  lecple 15995  joincjn 16991  Latclat 17092  Atomscatm 34868  HLchlt 34955  +𝑃cpadd 35399  𝑃cpolN 35506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-riotaBAD 34557
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-undef 7444  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-p1 17087  df-lat 17093  df-clat 17155  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-psubsp 35107  df-pmap 35108  df-padd 35400  df-polarityN 35507
This theorem is referenced by:  pexmidlem5N  35578
  Copyright terms: Public domain W3C validator