Theorem problem2 32909

Description: Practice problem 2. Clues: oveq12i 7168 adddiri 10654 add4i 10864 mulcli 10648 recni 10655 2re 11712 3eqtri 2848 10re 12118 5re 11725 1re 10641 4re 11722 eqcomi 2830 5p4e9 11796 oveq1i 7166 df-3 11702. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Revised by AV, 9-Sep-2021.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
problem2	⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = ((3 · ;10) + 9)

Proof of Theorem problem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 11712	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2	1	recni 10655	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		10re 12118	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
4	3	recni 10655	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℂ
5	2, 4	mulcli 10648	. . 3 ⊢ (2 · ;10) ∈ ℂ
6		5re 11725	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
7	6	recni 10655	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℂ
8		1re 10641	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
9	8	recni 10655	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
10	9, 4	mulcli 10648	. . 3 ⊢ (1 · ;10) ∈ ℂ
11		4re 11722	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
12	11	recni 10655	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℂ
13	5, 7, 10, 12	add4i 10864	. 2 ⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = (((2 · ;10) + (1 · ;10)) + (5 + 4))
14	2, 9, 4	adddiri 10654	. . . 4 ⊢ ((2 + 1) · ;10) = ((2 · ;10) + (1 · ;10))
15	14	eqcomi 2830	. . 3 ⊢ ((2 · ;10) + (1 · ;10)) = ((2 + 1) · ;10)
16		5p4e9 11796	. . 3 ⊢ (5 + 4) = 9
17	15, 16	oveq12i 7168	. 2 ⊢ (((2 · ;10) + (1 · ;10)) + (5 + 4)) = (((2 + 1) · ;10) + 9)
18		df-3 11702	. . . . 5 ⊢ 3 = (2 + 1)
19	18	eqcomi 2830	. . . 4 ⊢ (2 + 1) = 3
20	19	oveq1i 7166	. . 3 ⊢ ((2 + 1) · ;10) = (3 · ;10)
21	20	oveq1i 7166	. 2 ⊢ (((2 + 1) · ;10) + 9) = ((3 · ;10) + 9)
22	13, 17, 21	3eqtri 2848	1 ⊢ (((2 · ;10) + 5) + ((1 · ;10) + 4)) = ((3 · ;10) + 9)

Syntax hints:   = wceq 1537  (class class class)co 7156  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   · cmul 10542  2c2 11693  3c3 11694  4c4 11695  5c5 11696  9c9 11700  ;cdc 12099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-ltxr 10680  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-dec 12100

This theorem is referenced by: (None)