MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbagsn 19414
Description: A singleton bag is a bag. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag0.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbagsn (𝐼𝑉 → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) ∈ 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼,𝑥   𝑓,𝐾,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑓)   𝑉(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem psrbagsn
StepHypRef Expression
1 1nn0 11252 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
2 0nn0 11251 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
31, 2keepel 4127 . . . . . 6 if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ0
43a1i 11 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥𝐼) → if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ0)
5 eqid 2621 . . . . 5 (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) = (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0))
64, 5fmptd 6340 . . . 4 (⊤ → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)):𝐼⟶ℕ0)
76trud 1490 . . 3 (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)):𝐼⟶ℕ0
85mptpreima 5587 . . . 4 ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) “ ℕ) = {𝑥𝐼 ∣ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ}
9 snfi 7982 . . . . . 6 {𝐾} ∈ Fin
10 inss1 3811 . . . . . . 7 ({𝑥𝑥 = 𝐾} ∩ 𝐼) ⊆ {𝑥𝑥 = 𝐾}
11 dfrab2 3879 . . . . . . 7 {𝑥𝐼𝑥 = 𝐾} = ({𝑥𝑥 = 𝐾} ∩ 𝐼)
12 df-sn 4149 . . . . . . 7 {𝐾} = {𝑥𝑥 = 𝐾}
1310, 11, 123sstr4i 3623 . . . . . 6 {𝑥𝐼𝑥 = 𝐾} ⊆ {𝐾}
14 ssfi 8124 . . . . . 6 (({𝐾} ∈ Fin ∧ {𝑥𝐼𝑥 = 𝐾} ⊆ {𝐾}) → {𝑥𝐼𝑥 = 𝐾} ∈ Fin)
159, 13, 14mp2an 707 . . . . 5 {𝑥𝐼𝑥 = 𝐾} ∈ Fin
16 0nnn 10996 . . . . . . . . 9 ¬ 0 ∈ ℕ
17 iffalse 4067 . . . . . . . . . 10 𝑥 = 𝐾 → if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) = 0)
1817eleq1d 2683 . . . . . . . . 9 𝑥 = 𝐾 → (if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
1916, 18mtbiri 317 . . . . . . . 8 𝑥 = 𝐾 → ¬ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ)
2019con4i 113 . . . . . . 7 (if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ → 𝑥 = 𝐾)
2120a1i 11 . . . . . 6 (𝑥𝐼 → (if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ → 𝑥 = 𝐾))
2221ss2rabi 3663 . . . . 5 {𝑥𝐼 ∣ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ} ⊆ {𝑥𝐼𝑥 = 𝐾}
23 ssfi 8124 . . . . 5 (({𝑥𝐼𝑥 = 𝐾} ∈ Fin ∧ {𝑥𝐼 ∣ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ} ⊆ {𝑥𝐼𝑥 = 𝐾}) → {𝑥𝐼 ∣ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ} ∈ Fin)
2415, 22, 23mp2an 707 . . . 4 {𝑥𝐼 ∣ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0) ∈ ℕ} ∈ Fin
258, 24eqeltri 2694 . . 3 ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) “ ℕ) ∈ Fin
267, 25pm3.2i 471 . 2 ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)
27 psrbag0.d . . 3 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
2827psrbag 19283 . 2 (𝐼𝑉 → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) ∈ 𝐷 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)):𝐼⟶ℕ0 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) “ ℕ) ∈ Fin)))
2926, 28mpbiri 248 1 (𝐼𝑉 → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝐾, 1, 0)) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wtru 1481  wcel 1987  {cab 2607  {crab 2911  cin 3554  wss 3555  ifcif 4058  {csn 4148  cmpt 4673  ccnv 5073  cima 5077  wf 5843  (class class class)co 6604  𝑚 cmap 7802  Fincfn 7899  0cc0 9880  1c1 9881  cn 10964  0cn0 11236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237
This theorem is referenced by:  evlslem1  19434
  Copyright terms: Public domain W3C validator