Theorem rusgrprc 27372

Description: The class of 0-regular simple graphs is a proper class. (Contributed by AV, 27-Dec-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rusgrprc	⊢ {𝑔 ∣ 𝑔 RegUSGraph 0} ∉ V

Proof of Theorem rusgrprc

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rgrusgrprc 27371	. 2 ⊢ {𝑔 ∈ USGraph ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0} ∉ V
2		vex 3497	. . . . . . 7 ⊢ 𝑔 ∈ V
3		0xnn0 11974	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0*
4		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝑔) = (Vtx‘𝑔)
5		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (VtxDeg‘𝑔) = (VtxDeg‘𝑔)
6	4, 5	isrusgr0 27348	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0*) → (𝑔 RegUSGraph 0 ↔ (𝑔 ∈ USGraph ∧ 0 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0)))
7	2, 3, 6	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 RegUSGraph 0 ↔ (𝑔 ∈ USGraph ∧ 0 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0))
8		3ancomb 1095	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ USGraph ∧ 0 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0) ↔ (𝑔 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0 ∧ 0 ∈ ℕ0*))
9		df-3an 1085	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0 ∧ 0 ∈ ℕ0*) ↔ ((𝑔 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0) ∧ 0 ∈ ℕ0*))
10	3, 9	mpbiran2 708	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0 ∧ 0 ∈ ℕ0*) ↔ (𝑔 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0))
11	7, 8, 10	3bitri 299	. . . . 5 ⊢ (𝑔 RegUSGraph 0 ↔ (𝑔 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0))
12	11	abbii 2886	. . . 4 ⊢ {𝑔 ∣ 𝑔 RegUSGraph 0} = {𝑔 ∣ (𝑔 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0)}
13		df-rab 3147	. . . 4 ⊢ {𝑔 ∈ USGraph ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0} = {𝑔 ∣ (𝑔 ∈ USGraph ∧ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0)}
14	12, 13	eqtr4i 2847	. . 3 ⊢ {𝑔 ∣ 𝑔 RegUSGraph 0} = {𝑔 ∈ USGraph ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0}
15		neleq1 3128	. . 3 ⊢ ({𝑔 ∣ 𝑔 RegUSGraph 0} = {𝑔 ∈ USGraph ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0} → ({𝑔 ∣ 𝑔 RegUSGraph 0} ∉ V ↔ {𝑔 ∈ USGraph ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0} ∉ V))
16	14, 15	ax-mp 5	. 2 ⊢ ({𝑔 ∣ 𝑔 RegUSGraph 0} ∉ V ↔ {𝑔 ∈ USGraph ∣ ∀𝑣 ∈ (Vtx‘𝑔)((VtxDeg‘𝑔)‘𝑣) = 0} ∉ V)
17	1, 16	mpbir 233	1 ⊢ {𝑔 ∣ 𝑔 RegUSGraph 0} ∉ V

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {cab 2799   ∉ wnel 3123  ∀wral 3138  {crab 3142  Vcvv 3494   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  0cc0 10537  ℕ₀^*cxnn0 11968  Vtxcvtx 26781  USGraphcusgr 26934  VtxDegcvtxdg 27247   RegUSGraph crusgr 27338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-n0 11899  df-xnn0 11969  df-z 11983  df-uz 12245  df-xadd 12509  df-fz 12894  df-hash 13692  df-iedg 26784  df-edg 26833  df-uhgr 26843  df-upgr 26867  df-uspgr 26935  df-usgr 26936  df-vtxdg 27248  df-rgr 27339  df-rusgr 27340

This theorem is referenced by:  rgrprc  27373