Theorem sgrp0b 17909

Description: The structure with an empty base set and any group operation is a semigroup. (Contributed by AV, 28-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sgrp0b	⊢ {⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩} ∈ Smgrp

Proof of Theorem sgrp0b

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgm0b 17867	. 2 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩} ∈ Mgm
2		ral0 4456	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∅ ∀𝑦 ∈ ∅ ∀𝑧 ∈ ∅ ((𝑥(+g‘{⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩})𝑦)(+g‘{⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩})𝑧) = (𝑥(+g‘{⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩})(𝑦(+g‘{⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩})𝑧))
3		0ex 5211	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
4		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩} = {⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩}
5	4	grpbase 16610	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ V → ∅ = (Base‘{⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩}))
6	3, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∅ = (Base‘{⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩})
7		eqid 2821	. . 3 ⊢ (+g‘{⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩}) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩})
8	6, 7	issgrp 17902	. 2 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩} ∈ Smgrp ↔ ({⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩} ∈ Mgm ∧ ∀𝑥 ∈ ∅ ∀𝑦 ∈ ∅ ∀𝑧 ∈ ∅ ((𝑥(+g‘{⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩})𝑦)(+g‘{⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩})𝑧) = (𝑥(+g‘{⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩})(𝑦(+g‘{⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩})𝑧))))
9	1, 2, 8	mpbir2an 709	1 ⊢ {⟨(Base‘ndx), ∅⟩, ⟨(+g‘ndx), 𝑂⟩} ∈ Smgrp

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138  Vcvv 3494  ∅c0 4291  {cpr 4569  ⟨cop 4573  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ndxcnx 16480  Basecbs 16483  +_gcplusg 16565  Mgmcmgm 17850  Smgrpcsgrp 17900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-plusg 16578  df-mgm 17852  df-sgrp 17901

This theorem is referenced by: (None)