Theorem suprltrp 41686

Description: The supremum of a nonempty bounded set of reals can be approximated from below by elements of the set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprltrp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
suprltrp.n0	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
suprltrp.bnd	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
suprltrp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
suprltrp	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝑋) < 𝑧)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑧,𝐴   𝑧,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem suprltrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprltrp.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2		suprltrp.n0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
3		suprltrp.bnd	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)
4		suprcl 11587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
6		suprltrp.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
7	5, 6	ltsubrpd 12450	. 2 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝑋) < sup(𝐴, ℝ, < ))
8	6	rpred 12418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
9	5, 8	resubcld 11054	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝑋) ∈ ℝ)
10		suprlub 11591	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝑋) ∈ ℝ) → ((sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝑋) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝑋) < 𝑧))
11	1, 2, 3, 9, 10	syl31anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → ((sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝑋) < sup(𝐴, ℝ, < ) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝑋) < 𝑧))
12	7, 11	mpbid 234	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (sup(𝐴, ℝ, < ) − 𝑋) < 𝑧)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  ∃wrex 3139   ⊆ wss 3924  ∅c0 4279   class class class wbr 5052  (class class class)co 7142  supcsup 8890  ℝcr 10522   < clt 10661   ≤ cle 10662   − cmin 10856  ℝ⁺crp 12376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-resscn 10580  ax-1cn 10581  ax-icn 10582  ax-addcl 10583  ax-addrcl 10584  ax-mulcl 10585  ax-mulrcl 10586  ax-mulcom 10587  ax-addass 10588  ax-mulass 10589  ax-distr 10590  ax-i2m1 10591  ax-1ne0 10592  ax-1rid 10593  ax-rnegex 10594  ax-rrecex 10595  ax-cnre 10596  ax-pre-lttri 10597  ax-pre-lttrn 10598  ax-pre-ltadd 10599  ax-pre-mulgt0 10600  ax-pre-sup 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-op 4560  df-uni 4825  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5446  df-po 5460  df-so 5461  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-sup 8892  df-pnf 10663  df-mnf 10664  df-xr 10665  df-ltxr 10666  df-le 10667  df-sub 10858  df-neg 10859  df-rp 12377

This theorem is referenced by:  sge0ltfirp  42772