MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resubcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resubcld 10496
Description: Closure law for subtraction of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
renegcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resubcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
resubcld (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resubcld
StepHypRef Expression
1 renegcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 resubcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 resubcl 10383 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
41, 2, 3syl2anc 694 1 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030  (class class class)co 6690  cr 9973  cmin 10304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-sub 10306  df-neg 10307
This theorem is referenced by:  ltsubadd  10536  lesubadd  10538  lesub1  10560  lesub2  10561  ltsub1  10562  ltsub2  10563  lt2sub  10564  le2sub  10565  ltmul1a  10910  supaddc  11028  cru  11050  qbtwnre  12068  lincmb01cmp  12353  iccf1o  12354  xov1plusxeqvd  12356  intfracq  12698  fldiv  12699  modlt  12719  modsubdir  12779  modsumfzodifsn  12783  serle  12896  expmulnbnd  13036  discr  13041  fzsdom2  13253  cshwidxmod  13595  crre  13898  remullem  13912  sqrlem7  14033  absrdbnd  14125  fzomaxdiflem  14126  caubnd2  14141  amgm2  14153  icodiamlt  14218  mulcn2  14370  reccn2  14371  rlimo1  14391  climle  14414  climsqz  14415  climsqz2  14416  rlimle  14422  isercolllem1  14439  climsup  14444  caucvgrlem  14447  caucvgrlem2  14449  iseraltlem2  14457  iseraltlem3  14458  iseralt  14459  fsumle  14575  cvgcmp  14592  cvgcmpce  14594  bpoly4  14834  eflt  14891  resinhcl  14930  tanhlt1  14934  sin01bnd  14959  sin01gt0  14964  moddvds  15038  bitscmp  15207  bitsinv1lem  15210  smueqlem  15259  modprm0  15557  pcbc  15651  4sqlem15  15710  blss2ps  22255  blss2  22256  blssps  22276  blss  22277  nm2dif  22476  nlmvscnlem2  22536  nrginvrcnlem  22542  iccntr  22671  icccmplem2  22673  metdstri  22701  cnllycmp  22802  evth  22805  lebnumii  22812  ipcnlem2  23089  cncmet  23165  rrxds  23227  rrxmval  23234  rrxmet  23237  rrxdstprj1  23238  minveclem3b  23245  minveclem4  23249  ivthlem2  23267  ivthlem3  23268  ovollb2lem  23302  ovoliunlem1  23316  ovolscalem1  23327  ovolicc1  23330  ovolicc2lem4  23334  ovolicc2  23336  ovolicc  23337  voliunlem2  23365  ovolioo  23382  ioorcl2  23386  uniioovol  23393  uniioombllem2  23397  uniioombllem3a  23398  uniioombllem3  23399  uniioombllem4  23400  uniioombllem6  23402  opnmbllem  23415  volcn  23420  vitalilem2  23423  ismbf3d  23466  mbfaddlem  23472  i1fadd  23507  itg1addlem4  23511  mbfi1fseqlem6  23532  itg2seq  23554  itg2split  23561  itg2cnlem2  23574  itg2cn  23575  itgrevallem1  23606  dvcjbr  23757  dvferm1lem  23792  dvferm2lem  23794  cmvth  23799  mvth  23800  dvlip  23801  dvlip2  23803  c1liplem1  23804  dvgt0  23812  dvlt0  23813  dvge0  23814  dvle  23815  dvivthlem1  23816  lhop1lem  23821  lhop  23824  dvcnvrelem1  23825  dvcnvrelem2  23826  dvcnvre  23827  dvcvx  23828  dvfsumle  23829  dvfsumge  23830  dvfsumrlimf  23833  dvfsumlem2  23835  dvfsumlem3  23836  dvfsumlem4  23837  dvfsum2  23842  ftc1a  23845  ftc1lem4  23847  coe1mul3  23904  ply1divex  23941  plydivex  24097  aalioulem2  24133  aalioulem3  24134  aalioulem4  24135  aalioulem5  24136  aalioulem6  24137  aaliou3lem7  24149  taylthlem2  24173  mtest  24203  pilem2  24251  tangtx  24302  cosordlem  24322  efif1olem2  24334  logcnlem3  24435  logcnlem4  24436  isosctrlem2  24594  chordthmlem2  24605  chordthmlem4  24607  heron  24610  atanlogsublem  24687  atantan  24695  birthdaylem3  24725  logdifbnd  24765  emcllem1  24767  emcllem2  24768  emcllem5  24771  emcllem6  24772  harmonicbnd4  24782  fsumharmonic  24783  lgamgulmlem2  24801  lgamgulmlem3  24802  lgamucov  24809  relgamcl  24833  ftalem2  24845  ftalem5  24848  chpub  24990  logfaclbnd  24992  logfacbnd3  24993  logexprlim  24995  bposlem1  25054  bposlem9  25062  gausslemma2dlem1a  25135  lgseisenlem1  25145  lgsquadlem1  25150  chtppilimlem1  25207  vmadivsum  25216  vmadivsumb  25217  rplogsumlem1  25218  rplogsumlem2  25219  rpvmasumlem  25221  dchrisumlem2  25224  dchrisum0re  25247  rplogsum  25261  mulogsumlem  25265  mulog2sumlem1  25268  vmalogdivsum2  25272  vmalogdivsum  25273  2vmadivsumlem  25274  log2sumbnd  25278  selbergb  25283  selberg2lem  25284  selberg2b  25286  chpdifbndlem1  25287  selberg3lem1  25291  selberg3lem2  25292  selberg3  25293  selberg4lem1  25294  selberg4  25295  pntrf  25297  pntrmax  25298  pntrsumo1  25299  selberg3r  25303  selberg4r  25304  selberg34r  25305  pntrlog2bndlem1  25311  pntrlog2bndlem2  25312  pntrlog2bndlem3  25313  pntrlog2bndlem4  25314  pntrlog2bndlem5  25315  pntrlog2bndlem6  25317  pntrlog2bnd  25318  pntpbnd1a  25319  pntpbnd2  25321  pntibndlem2  25325  pntlemg  25332  pntlemn  25334  pntlemj  25337  pntlemf  25339  pntlemo  25341  pntlem3  25343  pntleml  25345  ttgcontlem1  25810  eqeelen  25829  brbtwn2  25830  colinearalg  25835  axcgrid  25841  axsegconlem1  25842  axsegconlem3  25844  axsegconlem8  25849  axsegconlem9  25850  axsegconlem10  25851  ax5seglem3a  25855  ax5seg  25863  axpaschlem  25865  axcontlem8  25896  nbusgrvtxm1  26325  crctcshwlkn0lem3  26760  crctcshwlkn0lem5  26762  crctcsh  26772  clwlkclwwlklem2fv2  26962  clwlkclwwlklem2a4  26963  clwlkclwwlklem2a  26964  nvabs  27655  dipcj  27697  minvecolem4  27864  lt2addrd  29644  xlt2addrd  29651  fzsplit3  29681  bcm1n  29682  bhmafibid1  29772  2sqmod  29776  submateqlem1  30001  cnre2csqlem  30084  tpr2rico  30086  dya2ub  30460  dya2icoseg  30467  ballotlemfcc  30683  ballotlemfrcn0  30719  sgnsub  30734  signslema  30767  ftc2re  30804  subfacval3  31297  dnibndlem8  32600  dnibndlem10  32602  dnibndlem11  32603  dnibndlem12  32604  dnicn  32607  knoppcnlem4  32611  unblimceq0  32623  unbdqndv2lem2  32626  knoppndvlem11  32638  knoppndvlem14  32641  knoppndvlem15  32642  knoppndvlem17  32644  knoppndvlem20  32647  poimirlem29  33568  broucube  33573  opnmbllem0  33575  mblfinlem3  33578  mblfinlem4  33579  itg2addnclem  33591  itg2addnclem3  33593  itg2gt0cn  33595  ftc1cnnclem  33613  areacirclem1  33630  areacirclem2  33631  areacirclem4  33633  areacirclem5  33634  areacirc  33635  cntotbnd  33725  rrnmet  33758  rrndstprj1  33759  rrndstprj2  33760  irrapxlem2  37704  irrapxlem3  37705  irrapxlem4  37706  irrapxlem5  37707  pellexlem2  37711  pellexlem6  37715  pell1qrgaplem  37754  rmspecsqrtnq  37787  rmspecfund  37791  rmspecpos  37798  jm2.24nn  37843  jm2.17c  37846  fzmaxdif  37865  acongeq  37867  modabsdifz  37870  jm3.1lem2  37902  areaquad  38119  imo72b2lem0  38782  cvgdvgrat  38829  hashnzfzclim  38838  binomcxplemdvbinom  38869  oddfl  39803  lefldiveq  39819  fperiodmul  39832  fzdifsuc2  39838  suprltrp  39857  supxrgere  39862  supxrgelem  39866  suplesup  39868  infleinflem2  39900  infleinf  39901  xrralrecnnge  39926  iccshift  40062  iooshift  40066  iooiinicc  40087  fmul01lt1lem2  40135  climinf  40156  sumnnodd  40180  ltmod  40188  lptre2pt  40190  climleltrp  40226  limsupgtlem  40327  liminflimsupclim  40357  fperdvper  40451  dvbdfbdioolem1  40461  dvbdfbdioolem2  40462  dvbdfbdioo  40463  ioodvbdlimc1lem1  40464  ioodvbdlimc1lem2  40465  ioodvbdlimc2lem  40467  dvnmul  40476  iblspltprt  40507  itgspltprt  40513  itgiccshift  40514  itgperiod  40515  itgsbtaddcnst  40516  sublevolico  40519  stoweidlem1  40536  stoweidlem11  40546  stoweidlem12  40547  stoweidlem13  40548  stoweidlem14  40549  stoweidlem23  40558  stoweidlem24  40559  stoweidlem25  40560  stoweidlem26  40561  stoweidlem34  40569  stoweidlem40  40575  stoweidlem41  40576  stoweidlem42  40577  stoweidlem45  40580  stoweidlem60  40595  stoweidlem62  40597  wallispilem3  40602  wallispilem4  40603  wallispi  40605  wallispi2lem1  40606  stirlinglem5  40613  stirlinglem11  40619  stirlinglem12  40620  dirkercncflem1  40638  fourierdlem4  40646  fourierdlem6  40648  fourierdlem7  40649  fourierdlem9  40651  fourierdlem13  40655  fourierdlem14  40656  fourierdlem15  40657  fourierdlem19  40661  fourierdlem26  40668  fourierdlem35  40677  fourierdlem39  40681  fourierdlem40  40682  fourierdlem41  40683  fourierdlem42  40684  fourierdlem48  40689  fourierdlem49  40690  fourierdlem50  40691  fourierdlem51  40692  fourierdlem56  40697  fourierdlem57  40698  fourierdlem59  40700  fourierdlem60  40701  fourierdlem61  40702  fourierdlem63  40704  fourierdlem64  40705  fourierdlem65  40706  fourierdlem66  40707  fourierdlem68  40709  fourierdlem71  40712  fourierdlem72  40713  fourierdlem73  40714  fourierdlem74  40715  fourierdlem75  40716  fourierdlem76  40717  fourierdlem78  40719  fourierdlem79  40720  fourierdlem81  40722  fourierdlem82  40723  fourierdlem83  40724  fourierdlem84  40725  fourierdlem88  40729  fourierdlem89  40730  fourierdlem90  40731  fourierdlem91  40732  fourierdlem92  40733  fourierdlem93  40734  fourierdlem95  40736  fourierdlem97  40738  fourierdlem101  40742  fourierdlem103  40744  fourierdlem104  40745  fourierdlem107  40748  fourierdlem109  40750  fourierdlem111  40752  fouriersw  40766  elaa2lem  40768  etransclem23  40792  rrxdsfi  40823  rrxtopnfi  40824  rrndistlt  40828  ioorrnopnlem  40842  ioorrnopnxrlem  40844  sge0gtfsumgt  40978  iundjiun  40995  volicorecl  41081  hoiprodcl  41082  hoiprodcl3  41115  volicore  41116  hoidmvcl  41117  hoidmv1lelem2  41127  hoidmv1lelem3  41128  hoidmv1le  41129  hoidmvlelem1  41130  hoidmvlelem2  41131  hoiqssbllem1  41157  hoiqssbllem2  41158  hoiqssbllem3  41159  hspmbllem1  41161  ovolval5lem1  41187  ovolval5lem2  41188  iunhoiioolem  41210  iccvonmbllem  41213  vonicclem1  41218  preimageiingt  41251  salpreimagtge  41255  smfaddlem1  41292  smflimlem4  41303  smfmullem1  41319  smfmullem2  41320  smfmullem3  41321  ltsubsubaddltsub  41640  2elfz2melfz  41653  bgoldbtbndlem2  42019  bgoldbtbndlem3  42020  bgoldbtbndlem4  42021  bgoldbtbnd  42022  ply1mulgsumlem2  42500  difmodm1lt  42642  nnpw2pmod  42702  dignn0flhalflem1  42734  amgmwlem  42876
  Copyright terms: Public domain W3C validator