Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgrnloop0ALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgrnloop0ALT 25990
 Description: Alternate proof of usgrnloop0 25989, not using umgrnloop0 25899. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.) (Revised by AV, 17-Oct-2020.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
usgrnloopv.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
usgrnloop0ALT (𝐺 ∈ USGraph → {𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑥) = {𝑈}} = ∅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑈
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem usgrnloop0ALT
StepHypRef Expression
1 neirr 2799 . . . . 5 ¬ 𝑈𝑈
2 usgrnloopv.e . . . . . 6 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
32usgrnloop 25987 . . . . 5 (𝐺 ∈ USGraph → (∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸𝑥) = {𝑈, 𝑈} → 𝑈𝑈))
41, 3mtoi 190 . . . 4 (𝐺 ∈ USGraph → ¬ ∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸𝑥) = {𝑈, 𝑈})
5 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐸𝑥) = {𝑈}) → (𝐸𝑥) = {𝑈})
6 dfsn2 4161 . . . . . . 7 {𝑈} = {𝑈, 𝑈}
75, 6syl6eq 2671 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐸𝑥) = {𝑈}) → (𝐸𝑥) = {𝑈, 𝑈})
87ex 450 . . . . 5 (𝐺 ∈ USGraph → ((𝐸𝑥) = {𝑈} → (𝐸𝑥) = {𝑈, 𝑈}))
98reximdv 3010 . . . 4 (𝐺 ∈ USGraph → (∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸𝑥) = {𝑈} → ∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸𝑥) = {𝑈, 𝑈}))
104, 9mtod 189 . . 3 (𝐺 ∈ USGraph → ¬ ∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸𝑥) = {𝑈})
11 ralnex 2986 . . 3 (∀𝑥 ∈ dom 𝐸 ¬ (𝐸𝑥) = {𝑈} ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸𝑥) = {𝑈})
1210, 11sylibr 224 . 2 (𝐺 ∈ USGraph → ∀𝑥 ∈ dom 𝐸 ¬ (𝐸𝑥) = {𝑈})
13 rabeq0 3931 . 2 ({𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑥) = {𝑈}} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ dom 𝐸 ¬ (𝐸𝑥) = {𝑈})
1412, 13sylibr 224 1 (𝐺 ∈ USGraph → {𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑥) = {𝑈}} = ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2907  ∃wrex 2908  {crab 2911  ∅c0 3891  {csn 4148  {cpr 4150  dom cdm 5074  ‘cfv 5847  iEdgciedg 25775   USGraph cusgr 25937 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-hash 13058  df-uhgr 25849  df-upgr 25873  df-umgr 25874  df-usgr 25939 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator