Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdeqs1cat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wrdeqs1cat 13412
 Description: Decompose a nonempty word by separating off the first symbol. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 9-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
wrdeqs1cat ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 = (⟨“(𝑊‘0)”⟩ ++ (𝑊 substr ⟨1, (#‘𝑊)⟩)))

Proof of Theorem wrdeqs1cat
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
2 1nn0 11252 . . . 4 1 ∈ ℕ0
3 0elfz 12377 . . . 4 (1 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...1))
42, 3mp1i 13 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅) → 0 ∈ (0...1))
5 wrdfin 13262 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ∈ Fin)
6 1elfz0hash 13119 . . . 4 ((𝑊 ∈ Fin ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 1 ∈ (0...(#‘𝑊)))
75, 6sylan 488 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅) → 1 ∈ (0...(#‘𝑊)))
8 lennncl 13264 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
98nnnn0d 11295 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅) → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
10 eluzfz2 12291 . . . . 5 ((#‘𝑊) ∈ (ℤ‘0) → (#‘𝑊) ∈ (0...(#‘𝑊)))
11 nn0uz 11666 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
1210, 11eleq2s 2716 . . . 4 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (#‘𝑊) ∈ (0...(#‘𝑊)))
139, 12syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅) → (#‘𝑊) ∈ (0...(#‘𝑊)))
14 ccatswrd 13394 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (0 ∈ (0...1) ∧ 1 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (#‘𝑊) ∈ (0...(#‘𝑊)))) → ((𝑊 substr ⟨0, 1⟩) ++ (𝑊 substr ⟨1, (#‘𝑊)⟩)) = (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩))
151, 4, 7, 13, 14syl13anc 1325 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨0, 1⟩) ++ (𝑊 substr ⟨1, (#‘𝑊)⟩)) = (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩))
16 0p1e1 11076 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
1716opeq2i 4374 . . . . 5 ⟨0, (0 + 1)⟩ = ⟨0, 1⟩
1817oveq2i 6615 . . . 4 (𝑊 substr ⟨0, (0 + 1)⟩) = (𝑊 substr ⟨0, 1⟩)
19 0nn0 11251 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
2019a1i 11 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅) → 0 ∈ ℕ0)
21 hashgt0 13117 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅) → 0 < (#‘𝑊))
22 elfzo0 12449 . . . . . 6 (0 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ (0 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 0 < (#‘𝑊)))
2320, 8, 21, 22syl3anbrc 1244 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅) → 0 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
24 swrds1 13389 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 0 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨0, (0 + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)
2523, 24syldan 487 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨0, (0 + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)
2618, 25syl5eqr 2669 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨0, 1⟩) = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)
2726oveq1d 6619 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨0, 1⟩) ++ (𝑊 substr ⟨1, (#‘𝑊)⟩)) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩ ++ (𝑊 substr ⟨1, (#‘𝑊)⟩)))
28 swrdid 13366 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) = 𝑊)
2928adantr 481 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨0, (#‘𝑊)⟩) = 𝑊)
3015, 27, 293eqtr3rd 2664 1 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 = (⟨“(𝑊‘0)”⟩ ++ (𝑊 substr ⟨1, (#‘𝑊)⟩)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∅c0 3891  ⟨cop 4154   class class class wbr 4613  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   < clt 10018  ℕcn 10964  ℕ0cn0 11236  ℤ≥cuz 11631  ...cfz 12268  ..^cfzo 12406  #chash 13057  Word cword 13230   ++ cconcat 13232  ⟨“cs1 13233   substr csubstr 13234 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-concat 13240  df-s1 13241  df-substr 13242 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator