MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xadddir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xadddir 12111
Description: Commuted version of xadddi 12110. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xadddir ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)))

Proof of Theorem xadddir
StepHypRef Expression
1 xadddi 12110 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ·e (𝐴 +𝑒 𝐵)) = ((𝐶 ·e 𝐴) +𝑒 (𝐶 ·e 𝐵)))
213coml 1270 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ·e (𝐴 +𝑒 𝐵)) = ((𝐶 ·e 𝐴) +𝑒 (𝐶 ·e 𝐵)))
3 xaddcl 12055 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
433adant3 1079 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
5 rexr 10070 . . . 4 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ*)
653ad2ant3 1082 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7 xmulcom 12081 . . 3 (((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐶 ·e (𝐴 +𝑒 𝐵)))
84, 6, 7syl2anc 692 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = (𝐶 ·e (𝐴 +𝑒 𝐵)))
9 simp1 1059 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
10 xmulcom 12081 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝐴))
119, 6, 10syl2anc 692 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝐴))
12 simp2 1060 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13 xmulcom 12081 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝐵))
1412, 6, 13syl2anc 692 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ·e 𝐶) = (𝐶 ·e 𝐵))
1511, 14oveq12d 6653 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)) = ((𝐶 ·e 𝐴) +𝑒 (𝐶 ·e 𝐵)))
162, 8, 153eqtr4d 2664 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 +𝑒 𝐵) ·e 𝐶) = ((𝐴 ·e 𝐶) +𝑒 (𝐵 ·e 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  (class class class)co 6635  cr 9920  *cxr 10058   +𝑒 cxad 11929   ·e cxmu 11930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-xneg 11931  df-xadd 11932  df-xmul 11933
This theorem is referenced by:  xrge0adddir  29666
  Copyright terms: Public domain W3C validator