Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrdifh Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrdifh 29409
Description: Class difference of a half-open interval in the extended reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Aug-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
xrdifh.1 𝐴 ∈ ℝ*
Assertion
Ref Expression
xrdifh (ℝ* ∖ (𝐴[,]+∞)) = (-∞[,)𝐴)

Proof of Theorem xrdifh
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 biortn 421 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ* → ((¬ 𝐴𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ (¬ 𝐴𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞))))
2 pnfge 11916 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≤ +∞)
32notnotd 138 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ* → ¬ ¬ 𝑥 ≤ +∞)
4 biorf 420 . . . . . . . 8 (¬ ¬ 𝑥 ≤ +∞ → (¬ 𝐴𝑥 ↔ (¬ 𝑥 ≤ +∞ ∨ ¬ 𝐴𝑥)))
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝐴𝑥 ↔ (¬ 𝑥 ≤ +∞ ∨ ¬ 𝐴𝑥)))
6 orcom 402 . . . . . . 7 ((¬ 𝐴𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞) ↔ (¬ 𝑥 ≤ +∞ ∨ ¬ 𝐴𝑥))
75, 6syl6bbr 278 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝐴𝑥 ↔ (¬ 𝐴𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞)))
8 xrdifh.1 . . . . . . . . . 10 𝐴 ∈ ℝ*
9 pnfxr 10044 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ ℝ*
10 elicc1 12169 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥 ≤ +∞)))
118, 9, 10mp2an 707 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥 ≤ +∞))
1211notbii 310 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ ¬ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥 ≤ +∞))
13 3ianor 1053 . . . . . . . 8 (¬ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥 ≤ +∞) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ ¬ 𝐴𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞))
14 3orass 1039 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ ¬ 𝐴𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ (¬ 𝐴𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞)))
1512, 13, 143bitri 286 . . . . . . 7 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ (¬ 𝐴𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞)))
1615a1i 11 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ (¬ 𝐴𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞))))
171, 7, 163bitr4rd 301 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ ¬ 𝐴𝑥))
18 xrltnle 10057 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝑥))
198, 18mpan2 706 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝑥))
2017, 19bitr4d 271 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ 𝑥 < 𝐴))
2120pm5.32i 668 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < 𝐴))
22 eldif 3569 . . 3 (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ (𝐴[,]+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞)))
23 3anass 1040 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ 𝑥𝑥 < 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ ≤ 𝑥𝑥 < 𝐴)))
24 mnfxr 10048 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
25 elico1 12168 . . . . 5 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ 𝑥𝑥 < 𝐴)))
2624, 8, 25mp2an 707 . . . 4 (𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ 𝑥𝑥 < 𝐴))
27 mnfle 11921 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝑥)
2827biantrurd 529 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 < 𝐴 ↔ (-∞ ≤ 𝑥𝑥 < 𝐴)))
2928pm5.32i 668 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ ≤ 𝑥𝑥 < 𝐴)))
3023, 26, 293bitr4i 292 . . 3 (𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < 𝐴))
3121, 22, 303bitr4i 292 . 2 (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ (𝐴[,]+∞)) ↔ 𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴))
3231eqriv 2618 1 (ℝ* ∖ (𝐴[,]+∞)) = (-∞[,)𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  wo 383  wa 384  w3o 1035  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cdif 3556   class class class wbr 4618  (class class class)co 6610  +∞cpnf 10023  -∞cmnf 10024  *cxr 10025   < clt 10026  cle 10027  [,)cico 12127  [,]cicc 12128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-ico 12131  df-icc 12132
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator