MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mnfle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mnfle 11929
Description: Minus infinity is less than or equal to any extended real. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
mnfle (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)

Proof of Theorem mnfle
StepHypRef Expression
1 nltmnf 11923 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ 𝐴 < -∞)
2 mnfxr 10056 . . 3 -∞ ∈ ℝ*
3 xrlenlt 10063 . . 3 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞ ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < -∞))
42, 3mpan 705 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞ ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < -∞))
51, 4mpbird 247 1 (𝐴 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wcel 1987   class class class wbr 4623  -∞cmnf 10032  *cxr 10033   < clt 10034  cle 10035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040
This theorem is referenced by:  ngtmnft  11957  xrre2  11960  xleadd1a  12042  xlt2add  12049  xsubge0  12050  xlesubadd  12052  xlemul1a  12077  supxrmnf  12106  elioc2  12194  iccmax  12207  xrsdsreclblem  19732  leordtvallem2  20955  lecldbas  20963  tgioo  22539  xrtgioo  22549  ioombl  23273  ismbfd  23347  degltlem1  23770  ply1rem  23861  xrdifh  29427  tpr2rico  29782  itg2gt0cn  33136  hbtlem2  37214  supxrgelem  39052  supxrge  39053  suplesup  39054  xrlexaddrp  39067  infxr  39082  infleinf  39087  mnfled  39108  eliocre  39180  fouriersw  39785
  Copyright terms: Public domain W3C validator