MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltnle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrltnle 10065
Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to', for extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
xrltnle ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))

Proof of Theorem xrltnle
StepHypRef Expression
1 xrlenlt 10063 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
21con2bid 344 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
32ancoms 469 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  wcel 1987   class class class wbr 4623  *cxr 10033   < clt 10034  cle 10035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pr 4877
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-br 4624  df-opab 4684  df-xp 5090  df-cnv 5092  df-le 10040
This theorem is referenced by:  xrletri  11944  qextltlem  11992  xralrple  11995  xltadd1  12045  xsubge0  12050  xposdif  12051  xltmul1  12081  ioo0  12158  ico0  12179  ioc0  12180  xrge0neqmnf  12234  snunioo  12256  snunioc  12258  difreicc  12262  hashbnd  13079  limsuplt  14160  pcadd  15536  pcadd2  15537  ramubcl  15665  ramlb  15666  leordtvallem1  20954  leordtvallem2  20955  leordtval2  20956  leordtval  20957  lecldbas  20963  blcld  22250  stdbdbl  22262  tmsxpsval2  22284  iocmnfcld  22512  xrsxmet  22552  metdsge  22592  bndth  22697  ovolgelb  23188  ovolunnul  23208  ioombl  23273  volsup2  23313  mbfmax  23356  ismbf3d  23361  itg2seq  23449  itg2monolem2  23458  itg2monolem3  23459  lhop2  23716  mdegleb  23762  deg1ge  23796  deg1add  23801  ig1pdvds  23874  plypf1  23906  radcnvlt1  24110  upgrfi  25916  xrdifh  29427  xrge00  29513  gsumesum  29944  itg2gt0cn  33136  asindmre  33166  dvasin  33167  radcnvrat  38034  supxrgelem  39052  infrpge  39066  xrlexaddrp  39067  xrltnled  39078  gtnelioc  39158  ltnelicc  39165  gtnelicc  39168  snunioo1  39184  eliccnelico  39202  xrgtnelicc  39211  lptioo2  39299  stoweidlem34  39588  fourierdlem20  39681  fouriersw  39785  nltle2tri  40650  iccelpart  40697
  Copyright terms: Public domain W3C validator