Theorem xrltnle 10710

Description: "Less than" expressed in terms of "less than or equal to", for extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
xrltnle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem xrltnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlenlt 10708	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
2	1	con2bid 357	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))
3	2	ancoms 461	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5068  ℝ^*cxr 10676   < clt 10677   ≤ cle 10678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pr 5332

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-br 5069  df-opab 5131  df-xp 5563  df-cnv 5565  df-le 10683

This theorem is referenced by:  xrletri  12549  qextltlem  12598  xralrple  12601  xltadd1  12652  xsubge0  12657  xposdif  12658  xltmul1  12688  ioo0  12766  ico0  12787  ioc0  12788  snunioo  12867  snunioc  12869  difreicc  12873  hashbnd  13699  limsuplt  14838  pcadd  16227  pcadd2  16228  ramubcl  16356  ramlb  16357  leordtvallem1  21820  leordtvallem2  21821  leordtval2  21822  leordtval  21823  lecldbas  21829  blcld  23117  stdbdbl  23129  tmsxpsval2  23151  iocmnfcld  23379  xrsxmet  23419  metdsge  23459  bndth  23564  ovolgelb  24083  ovolunnul  24103  ioombl  24168  volsup2  24208  mbfmax  24252  ismbf3d  24257  itg2seq  24345  itg2monolem2  24354  itg2monolem3  24355  lhop2  24614  mdegleb  24660  deg1ge  24694  deg1add  24699  ig1pdvds  24772  plypf1  24804  radcnvlt1  25008  upgrfi  26878  xrdifh  30505  xrge00  30675  gsumesum  31320  itg2gt0cn  34949  asindmre  34979  dvasin  34980  radcnvrat  40653  supxrgelem  41612  infrpge  41626  xrlexaddrp  41627  xrltnled  41638  xrpnf  41769  gtnelioc  41772  ltnelicc  41779  gtnelicc  41782  snunioo1  41795  eliccnelico  41812  xrgtnelicc  41821  lptioo2  41919  stoweidlem34  42326  fourierdlem20  42419  fouriersw  42523  nltle2tri  43520  iccelpart  43600