MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltnle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrltnle 9953
Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to', for extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
xrltnle ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))

Proof of Theorem xrltnle
StepHypRef Expression
1 xrlenlt 9951 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
21con2bid 342 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
32ancoms 467 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  wcel 1976   class class class wbr 4574  *cxr 9926   < clt 9927  cle 9928
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pr 4825
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ral 2897  df-rex 2898  df-rab 2901  df-v 3171  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-nul 3871  df-if 4033  df-sn 4122  df-pr 4124  df-op 4128  df-br 4575  df-opab 4635  df-xp 5031  df-cnv 5033  df-le 9933
This theorem is referenced by:  xrletri  11816  qextltlem  11863  xralrple  11866  xltadd1  11912  xsubge0  11917  xposdif  11918  xltmul1  11948  ioo0  12024  ico0  12045  ioc0  12046  xrge0neqmnf  12100  snunioo  12122  snunioc  12124  difreicc  12128  hashbnd  12937  limsuplt  14001  pcadd  15374  pcadd2  15375  ramubcl  15503  ramlb  15504  leordtvallem1  20763  leordtvallem2  20764  leordtval2  20765  leordtval  20766  lecldbas  20772  blcld  22058  stdbdbl  22070  tmsxpsval2  22092  iocmnfcld  22311  xrsxmet  22349  metdsge  22388  bndth  22493  ovolgelb  22969  ovolunnul  22989  ioombl  23054  volsup2  23093  mbfmax  23136  ismbf3d  23141  itg2seq  23229  itg2monolem2  23238  itg2monolem3  23239  lhop2  23496  mdegleb  23542  deg1ge  23576  deg1add  23581  ig1pdvds  23654  plypf1  23686  radcnvlt1  23890  umgrafi  25614  xrdifh  28735  xrge00  28820  gsumesum  29251  itg2gt0cn  32435  asindmre  32465  dvasin  32466  radcnvrat  37335  supxrgelem  38295  infrpge  38309  xrlexaddrp  38310  xrltnled  38321  gtnelioc  38360  ltnelicc  38367  gtnelicc  38370  snunioo1  38386  eliccnelico  38404  xrgtnelicc  38413  lptioo2  38499  stoweidlem34  38728  fourierdlem20  38821  fouriersw  38925  nltle2tri  39744  iccelpart  39773  upgrfi  40316
  Copyright terms: Public domain W3C validator