Theorem 0npi 7275

Description: The empty set is not a positive integer. (Contributed by NM, 26-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
0npi	|- -. (/) e. N.

Proof of Theorem 0npi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2170	. 2 |- (/) = (/)
2		elni 7270	. . . 4 |- ( (/) e. N. <-> ( (/) e. om /\ (/) =/= (/) ) )
3	2	simprbi 273	. . 3 |- ( (/) e. N. -> (/) =/= (/) )
4	3	necon2bi 2395	. 2 |- ( (/) = (/) -> -. (/) e. N. )
5	1, 4	ax-mp 5	1 |- -. (/) e. N.

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1348   e. wcel 2141   =/= wne 2340   (/)c0 3414   omcom 4574   N.cnpi 7234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-v 2732  df-dif 3123  df-sn 3589  df-ni 7266

This theorem is referenced by:  elni2  7276