Theorem elni 7249

Description: Membership in the class of positive integers. (Contributed by NM, 15-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
elni	|- ( A e. N. <-> ( A e. om /\ A =/= (/) ) )

Proof of Theorem elni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ni 7245	. . 3 |- N. = ( om \ { (/) } )
2	1	eleq2i 2233	. 2 |- ( A e. N. <-> A e. ( om \ { (/) } ) )
3		eldifsn 3703	. 2 |- ( A e. ( om \ { (/) } ) <-> ( A e. om /\ A =/= (/) ) )
4	2, 3	bitri 183	1 |- ( A e. N. <-> ( A e. om /\ A =/= (/) ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2136   =/= wne 2336   \ cdif 3113   (/)c0 3409   {csn 3576   omcom 4567   N.cnpi 7213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-v 2728  df-dif 3118  df-sn 3582  df-ni 7245

This theorem is referenced by:  0npi  7254  elni2  7255  1pi  7256  addclpi  7268  mulclpi  7269  nlt1pig  7282  indpi  7283  nqnq0pi  7379  prarloclemcalc  7443