Theorem elni 7456

Description: Membership in the class of positive integers. (Contributed by NM, 15-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
elni	|- ( A e. N. <-> ( A e. om /\ A =/= (/) ) )

Proof of Theorem elni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ni 7452	. . 3 |- N. = ( om \ { (/) } )
2	1	eleq2i 2274	. 2 |- ( A e. N. <-> A e. ( om \ { (/) } ) )
3		eldifsn 3771	. 2 |- ( A e. ( om \ { (/) } ) <-> ( A e. om /\ A =/= (/) ) )
4	2, 3	bitri 184	1 |- ( A e. N. <-> ( A e. om /\ A =/= (/) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2178   =/= wne 2378   \ cdif 3171   (/)c0 3468   {csn 3643   omcom 4656   N.cnpi 7420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-v 2778  df-dif 3176  df-sn 3649  df-ni 7452

This theorem is referenced by:  0npi  7461  elni2  7462  1pi  7463  addclpi  7475  mulclpi  7476  nlt1pig  7489  indpi  7490  nqnq0pi  7586  prarloclemcalc  7650