Theorem elni 7665

Description: Membership in the class of positive integers. (Contributed by NM, 15-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
elni	|- ( A e. N. <-> ( A e. om /\ A =/= (/) ) )

Proof of Theorem elni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ni 7661	. . 3 |- N. = ( om \ { (/) } )
2	1	eleq2i 2305	. 2 |- ( A e. N. <-> A e. ( om \ { (/) } ) )
3		eldifsn 3836	. 2 |- ( A e. ( om \ { (/) } ) <-> ( A e. om /\ A =/= (/) ) )
4	2, 3	bitri 184	1 |- ( A e. N. <-> ( A e. om /\ A =/= (/) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   =/= wne 2420   \ cdif 3217   (/)c0 3520   {csn 3705   omcom 4732   N.cnpi 7629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-v 2823  df-dif 3222  df-sn 3711  df-ni 7661

This theorem is referenced by:  0npi  7670  elni2  7671  1pi  7672  addclpi  7684  mulclpi  7685  nlt1pig  7698  indpi  7699  nqnq0pi  7795  prarloclemcalc  7859