Theorem elni 7324

Description: Membership in the class of positive integers. (Contributed by NM, 15-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
elni	|- ( A e. N. <-> ( A e. om /\ A =/= (/) ) )

Proof of Theorem elni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ni 7320	. . 3 |- N. = ( om \ { (/) } )
2	1	eleq2i 2255	. 2 |- ( A e. N. <-> A e. ( om \ { (/) } ) )
3		eldifsn 3733	. 2 |- ( A e. ( om \ { (/) } ) <-> ( A e. om /\ A =/= (/) ) )
4	2, 3	bitri 184	1 |- ( A e. N. <-> ( A e. om /\ A =/= (/) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2159   =/= wne 2359   \ cdif 3140   (/)c0 3436   {csn 3606   omcom 4603   N.cnpi 7288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-ext 2170

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-v 2753  df-dif 3145  df-sn 3612  df-ni 7320

This theorem is referenced by:  0npi  7329  elni2  7330  1pi  7331  addclpi  7343  mulclpi  7344  nlt1pig  7357  indpi  7358  nqnq0pi  7454  prarloclemcalc  7518