Theorem elni 7375

Description: Membership in the class of positive integers. (Contributed by NM, 15-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
elni	|- ( A e. N. <-> ( A e. om /\ A =/= (/) ) )

Proof of Theorem elni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ni 7371	. . 3 |- N. = ( om \ { (/) } )
2	1	eleq2i 2263	. 2 |- ( A e. N. <-> A e. ( om \ { (/) } ) )
3		eldifsn 3749	. 2 |- ( A e. ( om \ { (/) } ) <-> ( A e. om /\ A =/= (/) ) )
4	2, 3	bitri 184	1 |- ( A e. N. <-> ( A e. om /\ A =/= (/) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2167   =/= wne 2367   \ cdif 3154   (/)c0 3450   {csn 3622   omcom 4626   N.cnpi 7339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-v 2765  df-dif 3159  df-sn 3628  df-ni 7371

This theorem is referenced by:  0npi  7380  elni2  7381  1pi  7382  addclpi  7394  mulclpi  7395  nlt1pig  7408  indpi  7409  nqnq0pi  7505  prarloclemcalc  7569