Theorem elni 7270

Description: Membership in the class of positive integers. (Contributed by NM, 15-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
elni	|- ( A e. N. <-> ( A e. om /\ A =/= (/) ) )

Proof of Theorem elni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ni 7266	. . 3 |- N. = ( om \ { (/) } )
2	1	eleq2i 2237	. 2 |- ( A e. N. <-> A e. ( om \ { (/) } ) )
3		eldifsn 3710	. 2 |- ( A e. ( om \ { (/) } ) <-> ( A e. om /\ A =/= (/) ) )
4	2, 3	bitri 183	1 |- ( A e. N. <-> ( A e. om /\ A =/= (/) ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2141   =/= wne 2340   \ cdif 3118   (/)c0 3414   {csn 3583   omcom 4574   N.cnpi 7234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-v 2732  df-dif 3123  df-sn 3589  df-ni 7266

This theorem is referenced by:  0npi  7275  elni2  7276  1pi  7277  addclpi  7289  mulclpi  7290  nlt1pig  7303  indpi  7304  nqnq0pi  7400  prarloclemcalc  7464