Theorem elni 7304

Description: Membership in the class of positive integers. (Contributed by NM, 15-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
elni	|- ( A e. N. <-> ( A e. om /\ A =/= (/) ) )

Proof of Theorem elni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ni 7300	. . 3 |- N. = ( om \ { (/) } )
2	1	eleq2i 2244	. 2 |- ( A e. N. <-> A e. ( om \ { (/) } ) )
3		eldifsn 3719	. 2 |- ( A e. ( om \ { (/) } ) <-> ( A e. om /\ A =/= (/) ) )
4	2, 3	bitri 184	1 |- ( A e. N. <-> ( A e. om /\ A =/= (/) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2148   =/= wne 2347   \ cdif 3126   (/)c0 3422   {csn 3592   omcom 4588   N.cnpi 7268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-v 2739  df-dif 3131  df-sn 3598  df-ni 7300

This theorem is referenced by:  0npi  7309  elni2  7310  1pi  7311  addclpi  7323  mulclpi  7324  nlt1pig  7337  indpi  7338  nqnq0pi  7434  prarloclemcalc  7498