Theorem elni 7116

Description: Membership in the class of positive integers. (Contributed by NM, 15-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
elni	|- ( A e. N. <-> ( A e. om /\ A =/= (/) ) )

Proof of Theorem elni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ni 7112	. . 3 |- N. = ( om \ { (/) } )
2	1	eleq2i 2206	. 2 |- ( A e. N. <-> A e. ( om \ { (/) } ) )
3		eldifsn 3650	. 2 |- ( A e. ( om \ { (/) } ) <-> ( A e. om /\ A =/= (/) ) )
4	2, 3	bitri 183	1 |- ( A e. N. <-> ( A e. om /\ A =/= (/) ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1480   =/= wne 2308   \ cdif 3068   (/)c0 3363   {csn 3527   omcom 4504   N.cnpi 7080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-v 2688  df-dif 3073  df-sn 3533  df-ni 7112

This theorem is referenced by:  0npi  7121  elni2  7122  1pi  7123  addclpi  7135  mulclpi  7136  nlt1pig  7149  indpi  7150  nqnq0pi  7246  prarloclemcalc  7310