Theorem elni 7064

Description: Membership in the class of positive integers. (Contributed by NM, 15-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
elni	|- ( A e. N. <-> ( A e. om /\ A =/= (/) ) )

Proof of Theorem elni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ni 7060	. . 3 |- N. = ( om \ { (/) } )
2	1	eleq2i 2181	. 2 |- ( A e. N. <-> A e. ( om \ { (/) } ) )
3		eldifsn 3616	. 2 |- ( A e. ( om \ { (/) } ) <-> ( A e. om /\ A =/= (/) ) )
4	2, 3	bitri 183	1 |- ( A e. N. <-> ( A e. om /\ A =/= (/) ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1463   =/= wne 2282   \ cdif 3034   (/)c0 3329   {csn 3493   omcom 4464   N.cnpi 7028

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-v 2659  df-dif 3039  df-sn 3499  df-ni 7060

This theorem is referenced by:  0npi  7069  elni2  7070  1pi  7071  addclpi  7083  mulclpi  7084  nlt1pig  7097  indpi  7098  nqnq0pi  7194  prarloclemcalc  7258