Theorem elni 7506

Description: Membership in the class of positive integers. (Contributed by NM, 15-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
elni	|- ( A e. N. <-> ( A e. om /\ A =/= (/) ) )

Proof of Theorem elni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ni 7502	. . 3 |- N. = ( om \ { (/) } )
2	1	eleq2i 2296	. 2 |- ( A e. N. <-> A e. ( om \ { (/) } ) )
3		eldifsn 3795	. 2 |- ( A e. ( om \ { (/) } ) <-> ( A e. om /\ A =/= (/) ) )
4	2, 3	bitri 184	1 |- ( A e. N. <-> ( A e. om /\ A =/= (/) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2200   =/= wne 2400   \ cdif 3194   (/)c0 3491   {csn 3666   omcom 4682   N.cnpi 7470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-v 2801  df-dif 3199  df-sn 3672  df-ni 7502

This theorem is referenced by:  0npi  7511  elni2  7512  1pi  7513  addclpi  7525  mulclpi  7526  nlt1pig  7539  indpi  7540  nqnq0pi  7636  prarloclemcalc  7700