Theorem elni 6921

Description: Membership in the class of positive integers. (Contributed by NM, 15-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
elni	|- ( A e. N. <-> ( A e. om /\ A =/= (/) ) )

Proof of Theorem elni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ni 6917	. . 3 |- N. = ( om \ { (/) } )
2	1	eleq2i 2155	. 2 |- ( A e. N. <-> A e. ( om \ { (/) } ) )
3		eldifsn 3573	. 2 |- ( A e. ( om \ { (/) } ) <-> ( A e. om /\ A =/= (/) ) )
4	2, 3	bitri 183	1 |- ( A e. N. <-> ( A e. om /\ A =/= (/) ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1439   =/= wne 2256   \ cdif 2997   (/)c0 3287   {csn 3450   omcom 4418   N.cnpi 6885

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-v 2622  df-dif 3002  df-sn 3456  df-ni 6917

This theorem is referenced by:  0npi  6926  elni2  6927  1pi  6928  addclpi  6940  mulclpi  6941  nlt1pig  6954  indpi  6955  nqnq0pi  7051  prarloclemcalc  7115