Theorem 0npi 7314

Description: The empty set is not a positive integer. (Contributed by NM, 26-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
0npi	⊢ ¬ ∅ ∈ N

Proof of Theorem 0npi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2177	. 2 ⊢ ∅ = ∅
2		elni 7309	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ N ↔ (∅ ∈ ω ∧ ∅ ≠ ∅))
3	2	simprbi 275	. . 3 ⊢ (∅ ∈ N → ∅ ≠ ∅)
4	3	necon2bi 2402	. 2 ⊢ (∅ = ∅ → ¬ ∅ ∈ N)
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ ¬ ∅ ∈ N

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347  ∅c0 3424  ωcom 4591  Ncnpi 7273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-v 2741  df-dif 3133  df-sn 3600  df-ni 7305

This theorem is referenced by:  elni2  7315