Theorem acnrcl 7459

Description: Reverse closure for the choice set predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acnrcl	|- ( X e. AC A -> A e. _V )

Proof of Theorem acnrcl

Dummy variables f g x y z j w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex2 2820	. . 3 |- ( X e. { x | ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) } -> E. w w e. { x | ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) } )
2		abn0m 3522	. . . 4 |- ( E. w w e. { x | ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) } <-> E. x ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
3		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) -> A e. _V )
4	3	exlimiv 1647	. . . 4 |- ( E. x ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) -> A e. _V )
5	2, 4	sylbi 121	. . 3 |- ( E. w w e. { x | ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) } -> A e. _V )
6	1, 5	syl 14	. 2 |- ( X e. { x | ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) } -> A e. _V )
7		df-acnm 7427	. 2 |- AC A = { x | ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) }
8	6, 7	eleq2s 2326	1 |- ( X e. AC A -> A e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   E.wex 1541   e. wcel 2202   {cab 2217   A.wral 2511   {crab 2515   _Vcvv 2803   ~Pcpw 3656   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   ^m cmap 6860  AC wacn 7425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-v 2805  df-acnm 7427

This theorem is referenced by: (None)