Theorem acnrcl 7320

Description: Reverse closure for the choice set predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acnrcl	|- ( X e. AC A -> A e. _V )

Proof of Theorem acnrcl

Dummy variables f g x y z j w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex2 2789	. . 3 |- ( X e. { x | ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) } -> E. w w e. { x | ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) } )
2		abn0m 3487	. . . 4 |- ( E. w w e. { x | ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) } <-> E. x ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
3		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) -> A e. _V )
4	3	exlimiv 1622	. . . 4 |- ( E. x ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) -> A e. _V )
5	2, 4	sylbi 121	. . 3 |- ( E. w w e. { x | ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) } -> A e. _V )
6	1, 5	syl 14	. 2 |- ( X e. { x | ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) } -> A e. _V )
7		df-acnm 7294	. 2 |- AC A = { x | ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) }
8	6, 7	eleq2s 2301	1 |- ( X e. AC A -> A e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   E.wex 1516   e. wcel 2177   {cab 2192   A.wral 2485   {crab 2489   _Vcvv 2773   ~Pcpw 3617   ` cfv 5276  (class class class)co 5951   ^m cmap 6742  AC wacn 7292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-11 1530  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-ext 2188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-v 2775  df-acnm 7294

This theorem is referenced by: (None)