Theorem acnrcl 7284

Description: Reverse closure for the choice set predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acnrcl	|- ( X e. AC A -> A e. _V )

Proof of Theorem acnrcl

Dummy variables f g x y z j w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex2 2779	. . 3 |- ( X e. { x | ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) } -> E. w w e. { x | ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) } )
2		abn0m 3477	. . . 4 |- ( E. w w e. { x | ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) } <-> E. x ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
3		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) -> A e. _V )
4	3	exlimiv 1612	. . . 4 |- ( E. x ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) -> A e. _V )
5	2, 4	sylbi 121	. . 3 |- ( E. w w e. { x | ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) } -> A e. _V )
6	1, 5	syl 14	. 2 |- ( X e. { x | ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) } -> A e. _V )
7		df-acnm 7258	. 2 |- AC A = { x | ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P x | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) }
8	6, 7	eleq2s 2291	1 |- ( X e. AC A -> A e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   E.wex 1506   e. wcel 2167   {cab 2182   A.wral 2475   {crab 2479   _Vcvv 2763   ~Pcpw 3606   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   ^m cmap 6716  AC wacn 7256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-11 1520  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-v 2765  df-acnm 7258

This theorem is referenced by: (None)